第7讲正弦定理与余弦定理1．(2022·上海一模)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC( )A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13， 所以a∶b∶c＝5∶11∶13，故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k＞0)，由余弦定理可得cosC＝＝＝－＜0，又因为C∈(0，π)，所以C∈，所以△ABC为钝角三角形，故选C.2．由下列条件解△ABC，其中有两解的是( )A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，c＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°解析：选C.对于A，由A＝45°，C＝80°，得B＝55°，由正弦定理＝＝得，a＝＝，c＝，此时△ABC仅有一解，A不符合条件；对于B，由a＝30，c＝28，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝844，可得b＝2，此时△ABC仅有一解，B不符合条件；对于D，由a＝12，c＝15，知a<c，则A<C，而A＝120°，得C也为钝角，此时△ABC无解，D不符合条件；对于C，由a＝14，c＝16，A＝45°及正弦定理＝，得sinC＝＝>，又c>a，故C>45°，由正弦函数的图像和性质知，此时△ABC有两解，故选C.3．(2022·上饶模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知＝，且a2－c2＝2b，则b＝( )A．4 B．36\nC．2D．1解析：选A.由题意可得3ccosA＝acosC，由余弦定理可得3c×＝a×，整理得b2＝2(a2－c2)，又因为a2－c2＝2b，代入得b＝4.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C＝( )A.B.C.D.或解析：选B.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，所以c＝(－1)b<b，a＝b，所以cosC＝＝，所以C＝.5．(2022·河南省六校联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为( )A.B.C．2D．2解析：选A.由sinA＝及A为锐角可得cosA＝，由三角形的面积公式可得S△ABC＝bcsinA＝，即bc＝，所以bc＝3，①由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝6，②由①②可得b＝c＝.6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为( )A.B.C.D.解析：选B.当C取最大值时，cosC最小，由cosC＝＝＝≥，当且仅当c＝时取等号，且此时sinC＝，所以当C取最大值时，△ABC的面积为absinC＝×2c×1×＝.7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________． 解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.答案：46\n8．在△ABC中，b＝ccosA＋asinC，则角C的大小为________． 解析：因为b＝ccosA＋asinC，由余弦定理得b＝c·＋asinC.即b2＋a2－c2＝2absinC.所以2abcosC＝2absinC，即tanC＝.又0<C<π，所以C＝.答案：9．(2022·高考北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cosA＝，因为a＝4，b＝5，c＝6，所以＝＝2··cosA＝2××＝1.答案：110．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sinA，sinB，sinC成等差数列，且a＝2c，则cosA＝________．解析：因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinB＝sinA＋sinC.因为＝＝，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cosA＝＝＝－.答案：－11．(2022·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.所以△ABC的面积为××＝1.6\n12．(2022·洛阳统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C＋2cosC＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝a，△ABC的面积为sinAsinB，求sinA及c的值．解：(1)因为cos2C＋2cosC＋2＝0，所以2cos2C＋2cosC＋1＝0，即(cosC＋1)2＝0，所以cosC＝－.又C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2，所以c＝a，即sinC＝sinA，所以sinA＝sinC＝.因为S△ABC＝absinC，且S△ABC＝sinAsinB，所以absinC＝sinAsinB，所以sinC＝，由正弦定理得：sinC＝，解得c＝1.1．(2022·河北省衡水中学调研)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )A．(，) B．(1，)C．(，2)D．(0，2)解析：选A.因为B＝2A，所以sinB＝sin2A，所以sinB＝2sinAcosA，所以b＝2acosA，又因为a＝1，所以b＝2cosA.因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<，0<B<，0<C<，即0<A<，0<2A<，0<π－A－2A<，所以<A<，所以<cosA<，所以<2cosA<，所以b∈(，)．2．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________． 6\n解析：因为＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc.所以＝＝＝cosA，所以∠A＝60°.因为△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，所以S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.答案：3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：(1)因为c＝2，C＝，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积为，所以absinC＝，ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，所以cosA·(sinA－sinB)＝0，所以cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，因为0<A<π，所以A＝，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．4．△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S.满足S＝(a2＋b2－c2)．(1)求C的值；(2)若a＋b＝4，求周长的范围与面积S的最大值．解：(1)因为S＝(a2＋b2－c2)，所以absinC＝·2abcosC，即tanC＝，又0<C<π，所以C＝.(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，6\n又a＋b＝4.所以c2＝a2＋(4－a)2－a(4－a)＝3a2－12a＋16＝3(a－2)2＋4，由a＋b＝4，a>0，b>0知0<a<4.所以4≤c2<16，所以2≤c<4.所以周长a＋b＋c∈[6，8)．又由a＋b＝4，知4≥2，当且仅当a＝b时取等号．所以ab≤4，所以S＝absinC≤×4×＝，即当a＝b＝2时，Smax＝.6
