第2讲函数的定义域和值域1．(2022·宣城一模)函数f(x)＝的定义域是( )A．[3，＋∞) B.C.D．(－∞，－3)解析：选A.由得所以x≥3，即定义域为[3，＋∞)．2．(2022·南昌诊断)函数y＝的值域为( )A．[0，＋∞)B．(0，1)C．[0，1)D．[0，1]解析：选C.要使函数有意义需满足1－≥0，所以≤1，所以x≥0.由x≥0可知0<≤1，故0≤1－<1，故y＝的值域为[0，1)．3．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是( )A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1D．f(x)＝x2＋ax＋1解析：选C.当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R.4．函数y＝2－的值域是( )A．[－2，2]B．[1，2]C．[0，2]D．[－，]解析：选C.因为－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，所以0≤≤2，－2≤－≤0，0≤2－≤2，所以0≤y≤2.5．(2022·安徽省巢湖一中质检)规定a⊗b＝＋2a＋b，a，b>0，若1⊗k＝4，则函数f(x)＝k⊗x的值域为( )A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C.D.解析：选A.由1⊗k＝＋2＋k＝4，解得k＝1，所以f(x)＝k⊗x＝1⊗x＝x＋＋2＝＋.因为x>0，所以f(x)>2.故选A.6．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2016]，则函数g(x)＝的定义域是( )A．[－1，2015]B．[－1，1)∪(1，2015]C．[0，2016]D．[－1，1)∪(1，2016]解析：选B.令t＝x＋1，则由已知函数y＝f(x)的定义域为[0，2016]可知f(t)中0≤t≤24\n016，故要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2016，解得－1≤x≤2015，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2015]．所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或1<x≤2015.故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2015]．7．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345解析：函数值只有四个数2，3，4，5，故值域为{2，3，4，5}．答案：{2，3，4，5}8．(2022·西安质检)若函数f(x)＝在区间[a，b]上的值域为，则a＋b＝________．解析：由题意知x－1＞0，又x∈[a，b]，所以a＞1.又f(x)＝在[a，b]上为减函数，所以f(a)＝＝1且f(b)＝＝，所以a＝2，b＝4，a＋b＝6.答案：69．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f(x＋2)的定义域为________，值域为________．解析：由已知可得x＋2∈[0，1]，故x∈[－2，－1]，所以函数f(x＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f(x)的图像向左平移2个单位得到函数f(x＋2)的图像，所以值域不发生变化，所以函数f(x＋2)的值域仍为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]10．已知函数f(x)＝的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是____________．解析：设g(x)＝mx2＋(m－3)x＋1，当m＝0时，g(x)＝－3x＋1，显然满足值域为[0，＋∞)，所以m＝0适合；当m≠0时，须解得0<m≤1或m≥9.综上所述，0≤m≤1或m≥9.答案：[0，1]∪[9，＋∞)11．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b＞1)，求a，b的值．解：因为f(x)＝(x－1)2＋a－，所以其对称轴为x＝1.即函数f(x)在[1，b]上单调递增．所以f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b.②又b>1，由①②解得4\n所以a，b的值分别为，3.12．已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．解：由题意知ax＋1≥0，a<0，所以x≤－，即函数的定义域为.因为函数在(－∞，1]上有意义，所以(－∞，1]⊆，所以－≥1，又a<0，所以－1≤a<0，即a的取值范围是[－1，0)．1．已知A，B是非空数集，定义A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x}，则A⊕B＝( )A．[0，3)B．(－∞，3)C．(－∞，0)∪(3，＋∞)D．[0，3]解析：选B.分析得到A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)，所以A⊕B＝(－∞，3)．2．若一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋1，则g(x)＝(x>0)的值域为____________．解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝k2x＋(k＋1)b，①依题意f(f(x))＝x＋1，②比较①和②的系数可得：解得 k＝－1(舍去)，所以f(x)＝x＋，则g(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.当且仅当x＝时取等号，所以g(x)＝(x>0)的值域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)3．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，即2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.(2)因为对一切x∈R函数值均为非负，所以Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤.4\n所以a＋3＞0.所以g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－＋.因为二次函数g(a)在上单调递减，所以g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.所以g(a)的值域为.4．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．解：如图，因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，即0<x<，因为∠ABC＝120°，所以∠A＝60°，所以AE＝DF＝，BE＝x，y＝(BC＋AD)·BE＝＝(2a－3x)x＝－(3x2－2ax)＝－＋a2，故当x＝时，y有最大值a2，它的定义域为，值域为.4
