课时提升练(二十一) 正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2022·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )A. B. C．1 D.【解析】 ∵＝，∴＝.∵3a＝2b，∴＝.∴＝.∴＝22－1＝2×2－1＝－1＝.【答案】 D2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为( )A.B.C.D.【解析】 ∵sinA，sinB，sinC成等比数列，∴sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，∴cosB＝＝＝.【答案】 B3．在△ABC中，内角A，B的对边分别是a，b，若＝，则△ABC为( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解析】 法一：∵＝＝，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，5\n∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：∵＝＝，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－a4＝b2c2－b4.即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0.∴a＝b或a2＋b2＝c2.即△ABC为等腰三角形或直角三角形．【答案】 C4．(2022·课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )A．5B.C．2D．1【解析】 ∵S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.【答案】 B5．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】 由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则cos5\nA≥.因为0＜A＜π，所以0＜A≤.【答案】 C6．(2022·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )A．2B．2C.D．1【解析】 由正弦定理得：＝，∵B＝2A，a＝1，b＝，∴＝.∵A为三角形的内角，∴sinA≠0.∴cosA＝.又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝.∴C＝π－A－B＝，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝＝2.【答案】 B二、填空题7．(2022·福建高考)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．【解析】 ∵A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.【答案】 18．(2022·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________.【解析】 法一：因为bcosC＋ccosB＝2b，所以b·＋c·＝2b，化简可得＝2.法二：因为bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，故sin(B＋C)＝2sinB.5\n故sinA＝2sinB，则a＝2b，即＝2.【答案】 29．(2022·江苏高考)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．【解析】 由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋b＝2c.由余弦定理得cosC＝＝＝≥＝，故≤cosC<1，故cosC的最小值为.【答案】 三、解答题10．(2022·课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．【解】 (1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝sin60°＝2.11．(2022·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝b，sinB＝sinC.(1)求cosA的值；5\n(2)求cos的值．【解】 (1)在△ABC中，由＝，及sinB＝sinC，可得b＝c，又由a－c＝b，有a＝2c，所以cosA＝＝＝.(2)在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝.于是cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.所以cos＝cos2A·cos＋sin2A·sin＝.12．(2022·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．【解】 (1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，故cos(A＋B)＝－，所以A＋B＝，从而C＝.(2)因为S△ABC＝absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.5
