课时提升练(二十) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1.·等于( )A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα【解析】 原式＝＝＝cosα.【答案】 D2.＝( )A. B. C．2 D.【解析】 原式＝＝＝2.【答案】 C3．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则tan＝( )A．－B.C.D．－【解析】 由题意，α的终边过点P(2,3)，则tanα＝，∴tan2α＝＝－，于是tan＝＝－.【答案】 D4．若△ABC的内角A满足sin2A＝－，则cosA－sinA＝( )A.B．－C.D．－【解析】 ∵sin2A＝－＜0，∴A为钝角，∴cosA＜0＜sinA，而(cosA－sinA)2＝1－2sinAcosA＝1－sin2A＝.∴cosA－sinA＝－.【答案】 D6,5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于( )A．－B.C．－D.【解析】 ∵α∈，∴2α∈(0，π)，∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.【答案】 D6．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于( )A.B.C.D.【解析】 由题意sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，∴cos(α－β)＝＝，又cosα＝，∴sinα＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.∴β＝.【答案】 D二、填空题6,7．若f(α)＝2tanα－，则f＝________.【解析】 ∵f(α)＝2tanα－＝＋＝，∴f＝＝8.【答案】 88．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值为________．【解析】 由题意：cosαcosβ－sinαsinβ＝，①cosαcosβ＋sinαsinβ＝，②①＋②得cosαcosβ＝，②－①得sinαsinβ＝.∴tanαtanβ＝＝.【答案】 9．(2022·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．【解析】 ∵α为锐角且cos＝，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.6,【答案】 三、解答题10．(2022·江西高考)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【解】 (1)f(x)＝sin＋cos＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin.因为x∈[0，π]，所以－x∈.故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.(2)由得由θ∈知cosθ≠0，∴解得11．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．【解】 (1)∵f(x)＝2cos(ω＞0)的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.(2)由(1)知f(x)＝2cos，∵α，β∈，f＝－，f＝，6,∴2cos＝－，2cos＝，即cos＝－，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.12．如图352所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0＜θ＜π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.图352(1)求·＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．【解】 (1)由已知得点A，B，P的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(cosθ，sinθ)．∵四边形OAQP是平行四边形，∴＝＋＝(1,0)＋(cosθ，sinθ)＝(1＋cosθ，sinθ)，∴·＝1＋cosθ，又平行四边形OAQP的面积S＝||·||sinθ＝sinθ，∴·＋S＝1＋cosθ＋sinθ＝sin＋1.∵0＜θ＜π，∴当θ＝时，·＋S取得最大值＋1.(2)由题意知，＝(2,1)，＝(cosθ，sinθ)．∵CB∥OP，∴tanθ＝.又0＜θ＜π，∴0＜θ＜，由cosθ＝2sinθ，cos2θ＋sin2θ＝1，得sinθ＝6,，cosθ＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝，∴sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.6
