专题5·十字穿插法十字穿插法是快速求解二元混合问题的一种常见的有效方法．假设a1、a2分别表示某二元混合物中的两种组分A、B的量，为a1、a2的加权平均值而非算术平均值，那么nA/nB为二元混合体系中的A和B的组成比．那么：＝…(1)Aa1a2－[Ba2－a1，二元混合物凡能满足以下关系的均可用以上方法．a1·nA＋a2·nB＝(nA＋nB)或＝＝a1·＋a2·＝a1·A%＋a2·B%…(2)1.加权平均值和算术平均值有何区别？以上(2)中表示的均为加权平均值，其中A%＝×100%，B%＝×100%＝1－A%.A%、B%即a1、a2在计算时所占的权重，为加权平均值．假设为算术平均值，那么＝.显然，只有当A%＝B%＝50%时，＝．一般是不相等的，不仅与a1、a2有关，更与各自在混合物中的权重有关．2.表示什么量之比？不少学生滥用十字穿插法，但穿插出的是什么量之比却模糊不清，有些不符合加权平均计算关系式的问题，乱用十字穿插法，势必导致错误结果．13/13\n表示什么量之比，要视参加穿插的a1、a2、的意义而定，a1、a2、的量纲中分母是何种物理量，就是该物理量之比．在不同的情况，它可以是物质的量之比、气体体积之比、质量之比、原子个数比等．3.宜用范围(1)根据二元混合物的平均分子量，求两元的物质的量之比．假设为气体也即体积之比．（此类情况最为熟悉，不再赘述）(2)根据只含2种同位素的元素的平均原子量，求两种同位素原子的个数比或物质的量之比或在自然界中的百分含量（也称作丰度）．为何直接求出的不是质量之比或体积之比呢？元素的平均原子量在数值上等于原子的平均摩尔质量，与平均分子量同理．＝＝MA·A%＋MB·B%.其中：nA/nB的求法即可用十字穿插法．＝MAMB－ÞMB－MA是何种物理量之比，只需找出M 的量纲，其分母为mol，故是物质的量之比，不可能为质量之比或原子的体积之比．1o假设题目要求两种同位素原子的质量之比，可先用十字穿插法求出物质的量之比后，再分别乘以各原子的摩尔质量．＝＝13/13\n2o假设提供的是两种同位素原子的质量分数A%、B%，要求元素的平均原子量，那么可用如以下关系直接求解.＝＝g/mol例1、硼有两种天然同位素、，已知B元素的原子量为10.80．以下对B元素中的质量分数的判断正确的选项是（）Ａ.等于20%Ｂ.略大于20%Ｃ.略小于20%Ｄ.等于80%解①先求出物质的量之比100.2010.80110.80的物质的量的分数为×100%＝20%.的质量分数为×100%＜20%.答案：Ｃ．(3)同种溶质不同质量分数(A%、B%)的溶液混合而成质量分数为C%的溶液，求所取溶液的质量之比mA:mB.根据混合前后溶质质量守恒，得mA·A%＋mB·B%＝(mA＋mB)·C% 或C%＝.该式满足十字穿插法加权平均关系＝A%(B－C)%C%B%(C－A)%注意：用十字穿插法求出只能是两种溶液质量的质量比，不能是体积之比．13/13\n(4)根据两种有机物形成混合物的平均组成，来求两种有机物的物质的量之比．可选用平均C原子数或平均H原子数、平均O原子数来求解．（此类情况在有机计算中已作表达）．(5)有关反响热的问题例2、已知以下两个热化学方程式2H2(g)＋O2(g)＝2H2O(l)＋571.6KJC3H8(g)＋5O2(g)＝3CO2(g)＋4H2O(l)＋2220.0KJ.实验测得H2、C3H8混合气体共5mol完全燃烧时放热3847KJ，那么原混合气体中H2、C3H8的体积比是（）Ａ.1:3Ｂ.3:1Ｃ.1:4Ｄ.1:1＝≈解析是求出每摩H2、C3H8完全燃烧时放出的热量，然后用十字穿插法求出．H2285.81450.6769.4C3H82220.0483.6答案：Ｂ．(6)结合有关反响的计算例3、有1.5L的C2H4和C2H2组成的混合气体，恰好能与同条件下的2.7L的H2完全加成生成乙烷，那么原混合气体中C2H4、C2H2的体积比为（）Ａ.1:1Ｂ.1:2Ｃ.1:4Ｄ.4:1＝＝解析每1LC2H4、C2H2分别加氢，消耗H2的量为1L、2L，平均每1L混合气体加H2量为＝1.8(L)，可用十字穿插法求解．C2H410.21.8C2H220.813/13\n例4、Li2CO3和BaCO3的混合物与盐酸完全反响，所消耗盐酸的量与等质量的CaCO3和同浓度的盐酸反响所消耗盐酸的量相等．那么混合粉末中Li2CO3和BaCO3的质量之比为（）Ａ.3:5Ｂ.5:3Ｃ.7:5Ｄ.5:7解析首先请判断用以下十字穿插法求出两者之比是什么量之比．Li2CO37497100＝?BaCO319726假设设均与2molHCl反响，那么所需的Li2CO3、BaCO3、CaCO3各1mol，摩尔质量分别为74g/mol、197g/mol、100g/mol.故上面用十字穿插法求出的是Li2CO3和BaCO3的物质的量之比．然后换算为质量比．＝Þ＝＝.例5、Na、Al混合物0.2mol溶于足量盐酸，产生H23.136mL(S.T.P)，求Na、Al的物质的量之比．解析Na～H2Al～H21molmol1molmol13/13\n例6、原方案实现全球卫星通讯需发射77颗卫星，这与铱(Ir)元素的原子核外电子数恰好相等,因此称为“铱星方案”。(1)已知铱的一种同位素是19177Ir,那么其核内的中子数是() A．77 B．114 C．191 D．268 (2)已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均原子量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为() A．39︰61 B．61︰39 C．1︰1 D．39︰11方法：（1）可利用“质量数＝质子数+中子数”求解，（2）利用“十字穿插”求解。捷径：（1）根据“质量数＝质子数+中子数”知：中子数＝191－77＝114。选B。（1）利用“十字穿插”可得：19177Ir19119377Ir193 192.22193－192.22=0.78192.22－191=1.22以此19177Ir与19377Ir两种同位素的原子个数比为：0.78︰1.22=39︰61，得答案为A。例7、由CO2、H2、和CO组成的混合气在同温同压下与氮气的密度相同。那么该混合气中CO2、H2、和CO的体积比为()A．29︰8︰13B．22︰1︰14C．13︰8︰29D．26︰16︰57方法：将题中三种气体的式量与氮气的式量作比较，找出其间的联系，然后用“十字穿插”求解。捷径：由于CO在同温同压下时的密度与N2相同，所以CO的含量为任意值。只要CO2与H2的混合气体密度等于N2，即平均相对分子质量等于28便满足题意。利用“十字穿插”可求得CO2与H2的体积比，即：CO244H22 2828－2=2644－28=16只要在在同温同压下混合气中CO2与H2的体积比满足26︰16或13︰8即可。以此得答案为CD。13/13\n例8、已知Fe2O3在高炉中有以下反响：Fe2O3＋CO→2FeO＋CO2，反响形成的固体混和物（Fe2O3、FeO）中，元素铁和氧的质量比用mFe︰mO表示。（1）上述固体混和物中，mFe︰mO不可能是（选填a、b、c多项选择扣分）（a）21︰9（b）21︰7.5（c）21︰6（2）假设mFe︰mO＝21︰8，计算Fe2O3被CO复原的百分率（3）设Fe2O3被CO复原的百分率为A％，那么A％和混和物中mFe︰mO的关系式为（用含mFe、mO的代数式表示）。A％＝请在以以下图中画出A%和mFe/mO关系的图形。（4）如果Fe2O3和CO的反响分两步进展：3Fe2O3＋CO→2Fe3O4＋CO2，Fe3O4＋CO→3FeO＋CO2试分析反响形成的固体混和物可能的组成及相应的mFe︰mO（令mFe︰mO＝21︰a，写出a的取值范围）。将结果填入下表。混和物组成（用化学式表示）a的取值范围方法：利用十字穿插及数形结合方法解题。13/13\n捷径：（1）Fe2O3中mFe︰mO=(56×2)︰(16×3)=21︰9，在FeO中mFe︰mO=56︰16=7︰2，在Fe2O3和FeO的混合物中，mFe︰mO应介于21︰9~21︰6之间，所以不可能是21︰9或21︰6。应选a、c。（2）解法一：因为Fe2O3中mFe︰mO=21︰9，FeO中mFe︰mO=21︰6，在混合物中Fe2O39FeO6 821Fe2O3与FeO物质的量之比可通过十字穿插确定为：被复原Fe2O3的百分率为：解法二：设原有Fe2O3物质的量为1mol，复原率为A%，那么混合物中有（1—A%）molFe2O3和2A%mol的Fe。（4）可能组成的混合物是Fe2O3、Fe3O4，Fe3O4、FeO，Fe2O3、Fe3O4、FeO，其中Fe3O4中mFe︰mO=(56×3)︰(16×4)=21︰8，所以有：当混合物是Fe2O3、Fe3O4时，8＜a＜9，当混合物是Fe3O4、FeO时6＜a＜8，当混合物是Fe2O3、Fe3O4、FeO时6＜a＜9。例9、有四种不纯的碳酸钠样品，分别含有以下选项中的一种杂质。取等质量的样品，分别向这些样品中参加2mol/L盐酸，均完全反响生成CO2，且所耗盐酸的体积也均相同。这四种样品中Na2CO3的质量百分比最小的是（）13/13\nA．KHCO3B．NH4HCO3C．K2CO3D．NaHCO3方法：将四种杂质中不是正盐的都看作“正盐”，然后与Na2CO3比较，通过十字穿插分析求解。捷径：将四种杂质都看作“正盐”——假设与Na2CO3相当，“1mol”盐消耗2mol盐酸，那么（A）（B）(C)(D)的“分子量”依次变为200、158、138和168。各组混合物耗酸量相同时，各组盐的物质的量n正盐必相等。又因为各组盐的质量相同，所以盐的平均分子量相同。这样，Na2CO3与所含杂质物质的量之比那么可由下式计算：欲使Na2CO3的含量最小，上式中M（即换量后杂质盐的分子量）值就应最小。M(K2CO3)=138，最小。故答案为C。例10、甲烷和丙烷混合气的密度与同温同压下乙烷密度相同，混合气中甲烷与丙烷的体积比是（）A．2︰1B．3︰1C．1︰3D．1︰1方法：通过平均分子量和十字穿插求算。捷径：因混合气的密度与同温同压下乙烷密度相同，故混合气的平均分子量也与乙烷的分子量相同，即为30，又甲烷的分子量16，丙烷的分子量44。利用十字穿插得：甲烷16乙烷443044─3030─1611n(CH4)n(C2H6)═相同条件下，1︰1既是体积比又是物质的量比，因此选D。例11、已知以下两个热化学方程式2H2（g）+O2（g）=2H2O（l）；△H=－571.6kJ/molC3H8（g）+5O2（g）=3CO2（g）+4H2O（l）；△H=－2220kJ/mol13/13\n实验测得氢气和丙烷气体共5mol完全燃烧放热3847kJ，那么混合气体中氢气与丙烷的体积比是（）A．1︰3B．3︰1C．1︰4D．1︰1方法：首先求得混合气体1mol完全燃烧所放出的热量，再通过十字穿插求其比例。捷径：氢气和丙烷气体共5mol完全燃烧放热3847kJ，那么1mol混合气体所放出的热量为769.4kJ。根据十字穿插求得其比例为：氢气285.8丙烷2220769.41450.6483.631V(H2)V(C3H8)═以此得答案为B。例12、把100g10%KNO3溶液的浓度增加到20%，可采用的方法是A．蒸发掉45g水B．蒸发掉50g水C．参加10gKNO3固体D．参加15gKNO3固体方法：采取去水或加硝酸钾两种方法，利用十字穿插分别求算。捷径：①去水加浓。（水的“浓度”视为零）。溶液10水02020－0=2010－20=－10上式的意义是20g10%的溶液去掉（负号表示）10g水即可得20%的溶液，所以100g10%的溶液需去水10/20×100=50（g），选B。KNO3100溶液102020－10=10100－20=80②加KNO3（KNO3“浓度”视为100%），有需加KNO3×100=12.5（g），C、D都不能选。此题答案只能是B。例13、常温下，一种烷烃A和一种单烯烃B组成混合气。A或B分子中最多只含4个碳原子，且B分子的碳原子数比A分子多。将1L该混合气充分燃烧，在同温同压下得2.5LCO2气体，推断原混合气中A和B所有可能的组合及其体积比。方法：先根据混合气的平均碳原子数2.5确定可能的组合，再利用十字穿插求解。13/13\n捷径：据题意，1mol混合烃含碳2.5mol，且B的碳原子数多于A，可能的混合气组成只能是下面4种AB①CH4C3H6②CH4C4H8③C2H6C3H6④C2H6C4H8运用十字穿插法（根据碳原子数列式），有：CH41C3H632.53－2.5=0.52.5－1=1.5①CH4、C3H6组成混合气时上式说明，混合时A和B的体积比为1︰3（即0.5︰1.5）。②、③、④种组合时A与B的体积比也都可按上法求出，答案分别为1︰1，1︰1，3︰1，具体过程不再重复。例14、某气态烃A和B按2︰3（体积比）混合后，取0.1mol与一定量氧气混合燃烧，产物为CO、CO2和水蒸气。将燃烧产物依次通过足量的浓硫酸、灼热的CuO及碱石灰，最后碱石灰增重7.04g。求A和B可能的分子式。方法：根据碱石灰增重即为CO2的质量，求得烃的平均碳原子数，再结合气态烃A和B体积比为2︰3和十字穿插法求得结果。捷径：（1）碱石灰吸收的CO2包括燃烧生成的CO2及CO转化（复原CuO）成的CO2，即0.1mol混合烃中的C转化成CO2的总量，共为7.04g÷44g/mol=0.16mol。可知：1mol混合烃含碳1.6mol，所以混合烃一定含CH4。CH41另一烃x1.6x－1.61.6－1=0.6（2）设另一烃分子中含x个碳原子：①令A为CH4，那么有（x—1.6）/0.6=2/3，解得x=2B可能是C2H6、C2H4、C2H2。②令B为CH4，那么有13/13\n0.6/（x—1.6）=2/3，解得x=2.5（不合理，舍去）。以此得A的分子式为CH4，B的分子式可能为C2H6、C2H4、C2H2。例15、铁、锌合金8.5g溶于稀H2SO4中，充分反响后制得0.300gH2，求合金中Fe，Zn的含量分别为多少克。方法：因1mol铁或锌与稀硫酸作用均产生1molH2，以此可通过H2的物质的量求得混合物中铁锌的总物质的量，再利用十字穿插求其比例。捷径：先求出合金的平均摩尔质量：因Fe→H2，Zn→H2，合金→H2，Fe56.0Zn65.059.06.03.0那么合金的平均摩尔质量为：8.5g/（0.300/2）mol=59.0g/mol，平均分子量为59.0。故Fe，Zn分别产生H2的物质的量之比为6.0︰3.0=2︰1，从而可知合金中Fe，Zn的质量分别为：m(Fe)=56g/mol×（0.300/2）mol×2/3=5.60gm(Zn)=65g/mol×（0.300/2）mol×1/3=3.25g例16、某气体混合物含有氢气，二氧化碳和45%（体积）的氮气。它对氢气的相对密度是12.2，试求氢气和二氧化碳在混合气体中各自的体积百分含量。方法：将氢气和二氧化碳作为一个组分，氮气作另一个组分，先求出氢气和二氧化碳这二者混合后的平均式量，而后再求组分的体积百分含量。捷径：根据混合气对氢气的相对密度是12.2知，混合气的平均式量为22.4。设混合气为100L，那么V(N2)=45L，V（H2、CO2）=55L。24.4─xN228又设H2、CO2混合气的平均式量为x，那么：4555═3.6V(N2)24.4─xV(H2、CO2)═24.4H2、CO2x3.6解得x=21.49.711.3══V(H2)19.419.422.621.4CO244H22再利用十字穿插法，可求得H2与CO2的体积比：13/13\n22.6V(CO2)又因为氢气和二氧化碳组分占全部混合气体的55%，所以，氢气和二氧化碳占总混合气体的体积百分数为：V(H2)%=55%×=29.6%，V(CO2)%=55%×=25.4%那么全部混合气体由25.4%的CO2、29.6%的H2和45%的氮气组成。13/13
