课时规范练50 抛物线一、基础巩固组1.(2022广西桂林一模)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于( )A.12B.1C.32D.22.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则△POF的面积为( )A.2B.22C.23D.43.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )A.2B.4C.6D.84.(2022山西运城模拟)已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为( )A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为( )A.2B.4C.5D.66.(2022黑龙江大庆二模,理11)已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B(点A在x轴下方),点A1与点A关于x轴对称,若直线AB斜率为1,则直线A1B的斜率为( )A.33B.3C.22D.27.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x〚导学号21500763〛8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 . 9.已知点F为抛物线y2=12x的焦点,过点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A,过A作AH垂直抛物线的准线于H,若直线l的倾斜角α∈0,π3,则△AFH面积的最小值为 . 10.(2022全国Ⅱ,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= .〚导学号21500764〛 二、综合提升组11.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.355B.2C.115D.312.5\n(2022河北衡水中学三调,理11)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于( )A.π2B.π4C.2π3D.π313.(2022北京顺义二模,理13)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=23,则p的值为 . 14.(2022石家庄二中模拟,理20)已知点F(1,0),动点M,N分别在x轴,y轴上运动,MN⊥NF,Q为平面上一点,NQ+NF=0,过点Q作QP平行于x轴交MN的延长线于点P.(1)求点P的轨迹曲线E的方程;(2)过点Q作x轴的垂线l,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交曲线E于A,B两点(直线AB不过点F),交l于C,D两点.若线段AB中点的轨迹方程为y2=2x-4,求△CDF与△ABF的面积之比.〚导学号21500765〛三、创新应用组15.(2022山东菏泽一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,22)x0>p2为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,若|MA||AF|=2,则|AF|= . 课时规范练50 抛物线1.D 由题意,3x0=x0+p2,∴x0=p4,5\n∴p22=2.∵p>0,∴p=2,故选D.2.C 利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.∴yP=±26.∴S△POF=12|OF|·|yP|=23.故选C.3.D 由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.4.D 设点M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.5.A ∵抛物线y2=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故选A.6.C 抛物线y2=4x上的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-y1),则可设直线AB的方程为y=x-1,联立方程y=x-1,y2=4x,可得x2-6x+1=0,则有x1+x2=6,x1x2=1,直线A1B的斜率k=y2-(-y1)x2-x1=y2+y1x2-x1=x1+x2-2(x1+x2)2-4x1x2=22,所以直线A1B的斜率为22,故选C.7.C 如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|.∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故抛物线方程为y2=3x.8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.363 设点A的坐标为(x,y)(y>0),直线l的倾斜角α∈0,π3,则x≥9.故△AFH的面积S=12(x+3)y.令t=S2=14(x+3)2×12x=3x(x+3)2.则t'=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函数t单调递增.故当x=9时,S最小,此时Smin2=3×9×122,即Smin=363.5\n10.6 设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M1,a2.因为点M在抛物线C上,所以a24=8,即a2=32,即a=±42.所以N(0,±42).所以|FN|=(2-0)2+(0±42)2=6.11.B 由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是|4-0+6|5=2.12.D 设直线PQ的方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=kx-1,x2=2py,得x2-2pkx+2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=2p,kBP=y1-1x1,kBQ=y2-1x2,kBP+kBQ=y1-1x1+y2-1x2=kx1-2x1+kx2-2x2=2kx1x2-2(x1+x2)x1x2=2k·2p-2·2pk2p=0,即kBP+kBQ=0,①又kBP·kBQ=-3,②联立①②解得kBP=3,kBQ=-3,所以∠BNM=π3,∠BMN=π3,故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=π3,故选D.13.4或8 抛物线y2=2px的焦点Fp2,0,准线x=-p2,准线与x轴相交于点H.圆x2+y2+6x+5=0的标准方程为(x+3)2+y2=4,则圆心E(-3,0),半径为2,假设抛物线的准线在圆心的右侧,由|AB|=23,则A-p2,3,则|AH|=3,|AE|=2,∴|EH|=1,则|EH|+p2=|OE|,即1+p2=3,则p=4.设抛物线的准线在圆心的左侧,由|AB|=23,则A-p2,3,则|AH|=3,|AE|=2,则|OE|+|EH|=p2,即3+1=p2,则p=8,∴p的值为4或8.5\n14.解(1)设P(x,y),由N为Q,F的中点可得N为P,M的中点,则M,N分别为M(-x,0),N0,y2,MN=x,y2,NF=1,-y2,由MN·NF=0可得点P的轨迹方程为y2=4x.(2)设直线AB与x轴的交点为G(a,0),设Ay124,y1,By224,y2,A,B中点为M(x,y),当AB与x轴不垂直时,由kAB=kMG得4y1+y2=yx-a,而y1+y22=y,则42y=yx-a,即y2=2(x-a),即a=2.当AB与x轴垂直时,A,B中点M与G(a,0)重合,此时a=2.由N为Q,F的中点,可知过点Q作x轴的垂线l即为抛物线y2=4x的准线,S△CDF=12|y1-y2|·2,S△ABF=12|y1-y2|·|a-1|=12|y1-y2|·1,∴△CDF与△ABF的面积之比为2.15.1 由抛物线的定义得|MF|=x0+p2.∵圆与y轴相切,∴|MA|=x0.∵圆被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,圆心到直线x=p2的距离为|MA|2-32|MA|2=12|MA|,∴|MA|=2x0-p2,∴2x0-p2=x0,解得x0=p.∴M(p,22),∴2p2=8,∴p=2.∵|MA||AF|=2,∴|AF|=12|MA|=12p=1,∴|AF|=1.5
