课时规范练46 圆的方程一、基础巩固组1.(2022云南昆明一中模拟)若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是( )A.x-y=0B.x+y=0C.x-y-2=0D.x+y-2=02.(2022山西临汾模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=13.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为( )A.2B.1C.3D.24.已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.435.已知圆C的圆心在曲线y=2x上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则△OAB的面积等于( )A.2B.3C.4D.86.(2022广东深圳五校联考)已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为( )A.2B.-2C.1D.-1〚导学号21500756〛7.(2022北京东城区调研)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0k2<43所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)·x+2的倾斜角α= . 8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 . 10.(2022河北邯郸一模)已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23,则圆M的标准方程为 . 二、综合提升组11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是( )A.[-1,1]B.-12,12C.[-2,2]D.-22,22〚导学号21500757〛12.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为 . 13.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.(1)求AB的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.三、创新应用组14.已知平面区域x≥0,y≥0,x+2y+4≤0恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为 .〚导学号21500758〛 15.(2022北京东城模拟)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.课时规范练46 圆的方程3\n1.D 因为直线OD的斜率为kOD=1,所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB=-1,所以直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选D.2.A 由于圆心在第一象限且圆与x轴相切,因此设圆心为(a,1)(a>0).又由圆与直线4x-3y=0相切可得|4a-3|5=1,解得a=2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.3.B 设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[(x-0)2+(y-0)2]2=|OP|2.又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.4.B 由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点P,而线段AB垂直平分线的方程为y-32=33x-12,它与x=1联立得圆心P坐标为1,233,则|OP|=12+2332=213.5.C 设圆心的坐标是t,2t.∵圆C过坐标原点,∴|OC|2=t2+4t2,∴圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2.令x=0,得y1=0,y2=4t,∴点B的坐标为0,4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴点A的坐标为(2t,0),∴S△OAB=12|OA|·|OB|=12×4t×|2t|=4,即△OAB的面积为4.6.D 曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.7.3π4 由题意知,圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k2≤1k2<43.当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=3π4.8.(x-1)2+y2=2 由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为(2-1)2+(-1-0)2=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))设C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A 如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,由圆上存在点N使∠OMN=45°,则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.3\n当∠AOM=45°时,x0=±1.∴结合图象知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].12.6 方法1:设P(cosα,sinα),α∈R,则AO=(2,0),AP=(cosα+2,sinα),AO·AP=2cosα+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cosα+4取得最大值,最大值为6.故AO·AP的最大值为6.方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO·AP的最大值为6.13.解(1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB·OA=0,得x2+y2=100,4x-3y=0,解得x=6,y=8或x=-6,y=-8.若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.∴舍去x=-6,y=-8,即AB=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圆心为C(3,-1),半径r=10.∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),∴直线OB的方程为y=12x.设圆心C(3,-1)关于直线y=12x的对称点的坐标为(a,b),则b+1a-3=-2,b-12=12·a+32,解得a=1,b=3,故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.14.(x-2)2+(y-1)2=5 由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=|PQ|2=5,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.15.解(1)将圆C配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由|k+2|1+k2=2,得k=2±6,∴切线方程为y=(2±6)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0(a≠0),由|-1+2-a|2=2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.∴切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,圆的切线方程为y=(2+6)x或y=(2-6)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO⊥l,∴直线PO的方程为2x+y=0.解方程组2x+y=0,2x-4y+3=0,得点P的坐标为-310,35.3
