课时规范练44 直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础巩固组1.(2022贵州模拟)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-34,则直线l的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.一次函数y=-mnx+1n的图象同时经过第一、第二和第四象限的必要不充分条件是( )A.m>1,且n>1B.mn>0C.m>0,且n<0D.m>0,且n>03.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=04.(2022河北石家庄调研)已知直线l的斜率为k(k≠0),它在x轴、y轴上的截距分别为k和2k,则直线l的方程为( )A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0D.2x+y+4=0〚导学号21500754〛5.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( )A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=06.直线2x-my+1-3m=0,当m变动时,所有直线都经过定点( )A.-12,3B.12,3C.12,-3D.-12,-37.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=08.一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线y=13x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是 . 9.直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点 . 10.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 . 11.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 . 二、综合提升组12.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )A.-1,15B.-∞,12∪(1,+∞)4\nC.(-∞,1)∪15,+∞D.(-∞,-1)∪12,+∞13.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( )A.2B.22C.4D.23〚导学号21500755〛14.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 . 15.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l的方程为 . 三、创新应用组16.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是( )A.-∞,-52∪43,+∞B.-43,52C.-52,43D.-∞,-43∪52,+∞17.在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过点H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是 . 课时规范练44 直线的倾斜角、斜率与直线的方程1.A 由点斜式方程知直线l的方程为y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.2.B 因为y=-mnx+1n经过第一、第二和第四象限,所以-mn<0,1n>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.3.D 由sinα+cosα=0,得sinαcosα=-1,即tanα=-1.4\n又因为tanα=-ab,所以-ab=-1.即a=b,故应选D.4.D 依题意得直线l过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率k=2k-00-k=-2,由点斜式得直线l的方程为y=-2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.5.B 解法一:直线过点P(1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C.解法二:设所求直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将(1,4)代入得1a+4b=1,a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab≥9,当且仅当b=2a,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为x3+y6=1,即2x+y-6=0.6.D ∵当m变动时,(2x+1)-m(y+3)=0恒成立,∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-12,y=-3,定点为-12,-3.7.A 易知A(-1,0).∵|PA|=|PB|,∴点P在AB的垂直平分线即x=2上.∴B(5,0).∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.8.3x-y-33=0 因为直线y=13x的倾斜角为π6,所以所求直线的倾斜角为π3,即斜率k=tanπ3=3.又该直线过点A(2,-3),故所求直线为y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33=0.9.(-1,-2) kx+y+2=-k可化为y+2=-k(x+1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(-1,-2).10.4x+3y=0或x+y+1=0 ①若直线过原点,则k=-43,所以y=-43x,即4x+3y=0.②若直线不过原点,设直线方程为xa+ya=1,即x+y=a.则a=3+(-4)=-1,所以直线的方程为x+y+1=0.综上①②可知,所求的直线方程为4x+3y=0或x+y+1=0.11.16 根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab,从而ab≤0(舍去)或ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.12.D 设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=12,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪12,+∞.4\n13.C 因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值,可先求(m-0)2+(n-0)2的最小值.而(m-0)2+(n-0)2表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,所以(m2+n2)min=d2-|0+0-10|42+322=4.14.5 易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤|PA|2+|PB|22=5(当且仅当|PA|=|PB|时等号成立).15.x+y-2=0 设直线l的斜率为k,由题意k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A1-1k,0,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=1-1+1k2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+1k2≥2+2k2·1k2=4,当且仅当k2=1k2,即k=-1时等号成立,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.16.B 直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,∵kMA=3-(-2)-2-0=-52,kMB=2-(-2)3-0=43,结合题意可知-a>-52,且-a<43,∴a∈-43,52.17.3x+y-3-1=0 由题意可得直线OA的方程为y=x,与半圆方程联立得A(1,1),即可得H(1,0),则直线HB的方程为y=x-1,与半圆方程联立得B1+32,-1+32.故直线AB的方程为y-1-1+32-1=x-11+32-1,即3x+y-3-1=0.4
