课时规范练22 三角恒等变换一、基础巩固组1.函数f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是( )A.π2B.πC.3π2D.2π2.已知sinα+π5=33,则cos2α+2π5=( )A.13B.33C.23D.323.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=( )A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2022河南郑州三模,理4)已知cos2π3-2θ=-79,则sinπ6+θ的值等于( )A.13B.±13C.-19D.195.已知f(x)=sin2x+sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( )A.π,[0,π]B.2π,-π4,3π4C.π,-π8,3π8D.2π,-π4,π46.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,可以将函数y=cos2x-sin2x的图象( )A.向右平移π4个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π2个单位长度D.向左平移π2个单位长度7.设f(x)=1+cos2x2sinπ2-x+sinx+a2sinx+π4的最大值为2+3,则实数a= . 8.(2022江苏无锡一模,12)已知sinα=3sinα+π6,则tanα+π12=.9.(2022山东,理16)设函数f(x)=sinωx-π6+sinωx-π2,其中0<ω<3.已知fπ6=0.(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-π4,3π4上的最小值.〚导学号21500723〛10.(2022山西临汾三模,理17)已知函数f(x)=sin4x+cos4x+32sin2xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈0,π4时,求f(x)的最值.6\n二、综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0<φ≤π2的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=π6时取得最大值2,若f(α)=95,且π6<α<2π3,则sin2α+2π3的值为( )A.1225B.-1225C.2425D.-242512.已知函数f(x)=cosωx(sinωx+3cosωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2016π)成立,则ω的最小值为( )A.12016πB.14032πC.12016D.1403213.已知cosα=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 14.(2022山东潍坊一模,理16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsinAcosC+csinAcosB=32a.(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tanAsinωxcosωx-12cos2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为π2,将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间-π24,π4上的值域.〚导学号21500724〛三、创新应用组15.已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin2(α+γ)=3sin2β,则m=( )A.-1B.34C.32D.2〚导学号21500725〛16.已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a,且当x∈0,π2时,f(x)的最小值为2.(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的12,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间0,π2上所有根之和.6\n课时规范练22 三角恒等变换1.B f(x)=2sinx+π6×2cosx+π6=2sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B.2.A 由题意sinα+π5=33,∴cos2α+2π5=cos2α+π5=1-2sin2α+π5=1-2×332=13.故选A.3.C 因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12.若cosα=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=12,则tan2α=2tanα1-tan2α=43.综上所述,故选C.4.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cosπ-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos2π6+θ=-1-2sin2π6+θ=-79,解得sin2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B.5.C 由f(x)=sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-π4,则T=2π2=π.又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.6.A ∵y=sin2x+cos2x=222sin2x+22cos2x=2cos2x-π8,y=cos2x-sin2x=222cos2x-22sin2x=2cos2x+π8=2cos2x+π4-π8,∴只需将函数y=cos2x-sin2x的图象向右平移π4个单位长度可得函数y=sin2x+cos2x的图象.7.±3 f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sinx+π4=cosx+sinx+a2sinx+π4=2sinx+π4+a2sinx+π4=(2+a2)sinx+π4.依题意有2+a2=2+3,则a=±3.6\n8.23-4 sinα=3sinα+π6=332sinα+32cosα,∴tanα=32-33.又tanπ12=tanπ3-π4=tanπ3-tanπ41+tanπ3·tanπ4=3-13+1=2-3,∴tanα+π12=tanα+tanπ121+tanα·tanπ12=32-33+2-31+32-33·(2-3)=3+(2-3)·(2-33)(2-33)-3(2-3)=-16-834=23-4.9.解(1)因为f(x)=sinωx-π6+sinωx-π2,所以f(x)=32sinωx-12cosωx-cosωx=32sinωx-32cosωx=312sinωx-32cosωx=3sinωx-π3.由题设知fπ6=0,所以ωπ6-π3=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=3sin2x-π3,所以g(x)=3sinx+π4-π3=3sinx-π12.因为x∈-π4,3π4,所以x-π12∈-π3,2π3,当x-π12=-π3,即x=-π4时,g(x)取得最小值-32.10.解(1)函数f(x)=sin4x+cos4x+32sin2xcos2x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+34sin4x=1-12sin22x+34sin4x=1-1212-12cos4x+34sin4x=34sin4x+14cos4x+34=12sin4x+π6+34,∴f(x)的最小正周期T=2π4=π2.(2)当x∈0,π4时,4x+π6∈π6,7π6,∴sin4x+π6∈-12,1,当4x+π6=7π6时,f(x)取得最小值为12,此时x=π4.当4x+π6=π2时,f(x)取得最大值为54,此时x=π12.∴当x∈0,π4时,f(x)的最大值为54,最小值为12.11.D 由题意,T=2π,即T=2πω=2π,即ω=1.又当x=π6时,f(x)取得最大值,即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π3+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤π2,∴φ=π3,∴f(x)=sinx+π3+1.6\n∵f(α)=sinα+π3+1=95,可得sinα+π3=45.∵π6<α<2π3,可得π2<α+π3<π,∴cosα+π3=-35.∴sin2α+2π3=2sinα+π3·cosα+π3=2×45×-35=-2425.故选D.12.D 由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2016π)是函数f(x)的最大值.显然要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可.又f(x)=cosωx(sinωx+3cosωx)=12sin2ωx+32(1+cos2ωx)=sin2ωx+π3+32,则2016π≥12·2π2ω,求得ω≥14032,故ω的最小值为14032.13.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cosα=13,∴cos2α=2cos2α-1=-79,∴sin2α=1-cos22α=429,又α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-79×-13+429×223=2327.14.解(1)∵bsinAcosC+csinAcosB=32a,∴由正弦定理,得sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=32sinA.∵A为锐角,sinA≠0,∴sinBcosC+sinCcosB=32,可得sin(B+C)=sinA=32,∴A=π3.(2)∵A=π3,可得tanA=3,∴f(x)=3sinωxcosωx-12cos2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx=sin2ωx-π6.∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为π2,可得T=2×π2=2π2ω,解得ω=1,∴f(x)=sin2x-π6,∴将y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度后,图象对应的函数为y=g(x)=sin2x+π4-π6=sin2x+π3.∵x∈-π24,π4,可得2x+π3∈π4,5π6,∴g(x)=sin2x+π3∈12,1.15.D ∵sin2(α+γ)=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,故选D.6\n16.解(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a=cos2x+1+3sin2x+a=2sin2x+π6+a+1,∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6,∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴f(x)=2sin2x+π6+3,由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,可得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin4x-π6+3,由g(x)=4可得sin4x-π6=12,∴4x-π6=2kπ+π6(k∈Z)或4x-π6=2kπ+5π6(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k∈Z)或x=kπ2+π4(k∈Z).∵x∈0,π2,∴x=π12或x=π4,∴所有根之和为π12+π4=π3.6
