课时规范练46 抛物线基础巩固组1.(2022广西桂林一模,文4)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于( ) A.12B.1C.32D.22.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则△POF的面积为( )A.2B.22C.23D.43.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )A.2B.4C.6D.84.(2022山西运城模拟)已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为( )A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y5.(2022河北张家口4月模拟,文6)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为( )A.2B.4C.5D.66.(2022河南洛阳一模,文11)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为( )A.6B.5C.4D.37.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 . 6\n9.已知点F为抛物线y2=12x的焦点,过点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A,过A作AH垂直抛物线的准线于H,若直线l的倾斜角α∈0,π3,则△AFH面积的最小值为 . 10.(2022广东江门一模,文10改编)F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若FB=4FA,则FA·FB= .〚导学号24190944〛 综合提升组11.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.355B.2C.115D.312.(2022全国Ⅱ,文12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )A.5B.22C.23D.3313.以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则抛物线C的焦点到准线的距离为 . 14.(2022安徽马鞍山一模,文20)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.〚导学号24190945〛创新应用组15.(2022山东菏泽一模,文15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,22)x0>p2为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,若|MA||AF|=2,则|AF|= . 16.(2022吉林东北师大附中二模,文20)已知抛物线C:y=12x2,直线l:y=x-1,设P为直线l上的动点,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B.(1)当点P在y轴上时,求线段AB的长;(2)求证:直线AB恒过定点.6\n答案：1.D 由题意,3x0=x0+p2,∴x0=p4,∴p22=2.∵p>0,∴p=2,故选D.2.C 利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.∴yP=±26.∴S△POF=12|OF|·|yP|=23.故选C.3.D 由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.4.D 设点M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.5.A ∵抛物线y2=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故选A.6.A 抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|=12|AF|,∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,∴|BN|=3,∴|AM|=6,故选A.7.C 如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,6\n由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|.∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故抛物线方程为y2=3x.8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.363 设点A的坐标为(x,y)(y>0),直线l的倾斜角α∈0,π3,则x≥9.故△AFH的面积S=12(x+3)y.令t=S2=14(x+3)2×12x=3x(x+3)2.则t'=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函数t单调递增.故当x=9时,S最小,此时Smin2=3×9×122,即Smin=363.10.94 由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D,则由抛物线的定义,|FA|=m+12,由△BAC∽△BFD,得m+121=34,∴m=14.∴|FA|=34,|FB|=3,∴FA·FB=|FA||FB|=94.11.B 由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是|4-0+6|5=2.12.C 由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).6\n因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为|3×(3-1)+23|(-3)2+12=23.13.4 不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=42,所以可设A(m,22).又因为|DE|=25,所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.14.(1)解由题意知,点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,则l2:y=-k(x-1)+2,由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,∴x1×1=(k-2)2k2=k2-4k+4k2,同理x2=k2+4k+4k2.∴x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k.∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k.∴kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,直线MN的斜率为定值-1.15.1 由抛物线的定义得|MF|=x0+p2.∵圆与y轴相切,∴|MA|=x0.∵圆被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,圆心到直线x=p2的距离为|MA|2-32|MA|2=12|MA|,∴|MA|=2x0-p2,∴2x0-p2=x0,解得x0=p.6\n∴M(p,22),∴2p2=8,∴p=2.∵|MA||AF|=2,∴|AF|=12|MA|=12p=1.16.(1)解设Ax1,12x12,Bx2,12x22,y=12x2的导数为y'=x,以A为切点的切线方程为y-12x12=x1(x-x1),整理得y=x1x-12x12,同理,以B为切点的切线方程为y=x2x-12x22,代入P(0,-1),得x12=x22=2(x1x2<0),可得|AB|=|x1-x2|=22.(2)证明设P(x,y),由(1)得y=x1x-12x12,y=x2x-12x22,可得Px2+x12,x1x22.由已知直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=kx+b,y=kx+b,y=12x2,可得x2-2kx-2b=0,即有x1+x2=2k,x1x2=-2b,可得P(k,-b),由点P在直线y=x-1上,可得b=1-k,则直线AB的方程为y=kx+(1-k),即k(x-1)-y+1=0,则直线AB过定点(1,1).6
