高考数学试题分类汇编直线与圆一．选择题：ABCDOxy1，（上海卷15）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ D ）Ａ．弧AB B．弧BCC．弧CDD．弧DA2.（全国一10）若直线通过点，则（D）A．B．C．D．3.（全国二5）设变量满足约束条件：，则的最小值（D）A．B．C．D．4.（全国二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（A）A．3B．2C．D．5.（北京卷5）若实数满足则的最小值是（B）A．0B．1C．D．96.（北京卷7）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（C）A．B．C．D．7.（四川卷４）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A)8\n（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）8.（天津卷2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为D（A）2 （B）3 （C）4 （D）59.（安徽卷8）．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（C）A．B．C．D．10.（山东卷11）已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为B（A）10 （B）20 （C）30 （D）4011.（山东卷12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是C（A）[1,3](B)[2,](C)[2,9](D)[,9]12.（湖北卷9）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有CA.16条B.17条C.32条D.34条13.（湖南卷3）已知变量x、y满足条件则的最大值是(C)A.2B.5C.6D.814.（陕西卷5）直线与圆相切，则实数等于（C）A．或B．或C．或D．或8\n15.（陕西卷10）已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（B）A．7B．5C．4D．316.（重庆卷3)圆O1:和圆O2:的位置关系是B(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切17.（辽宁卷3）圆与直线没有公共点的充要条件是（C）A．B．C．D．二．填空题：1.（天津卷15）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为__________________．2.（全国一13）若满足约束条件则的最大值为．93.（四川卷14）已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______。4.（安徽卷15）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为5.（江苏卷9）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：。.8\n6.（重庆卷15）直线l与圆(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为.x-y+1=07.（福建卷14)若直线3x+4y+m=0与圆（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.8.（广东卷11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是．9.（浙江卷17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于____________。1三．解答题：1．（北京卷19）（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．因为在椭圆上，所以，解得．设两点坐标分别为，则，，，．所以．8\n所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．所以直线的方程为，即．（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当时，菱形的面积取得最大值．2.（江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为令＝0得这与＝0是同一个方程，故D＝2，F＝．令＝0得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．所以圆C的方程为.8\n（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．3.（湖北卷19）（本小题满分13分）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为＞0，b＞0）.则由解得a2=b2=2,8\n∴曲线C的方程为(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴ ∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝＝而原点O到直线l的距离d＝，∴S△DEF=若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1)∪(1,).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，8\n得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴ ∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得｜x1-x2｜=③当E、F在同一去上时（如图1所示），S△OEF＝当E、F在不同支上时（如图2所示）.S△ODE=综上得S△OEF＝于是由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=若△OEF面积不小于2 ④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.8
