高考数学试题分类汇编函数与导数一．选择题：1.（全国一1）函数的定义域为（C）A．B．C．D．2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（A）stOA．stOstOstOB．C．D．3.（全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（B）A．B．C．D．4.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（D）A．2B．C．D．5.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（D）A．B．C．D．6.（全国二3）函数的图像关于（C）A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称28\n8.（全国二4）若，则（C）A．<<B．<<C．<<D．<<9.（北京卷2）若，，，则（A）A．B．C．D．10.（北京卷3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（B）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11.（四川卷10）设，其中，则是偶函数的充要条件是(D)（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）12.（四川卷11）设定义在上的函数满足，若，则(C)（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）13.（天津卷3）函数（）的反函数是A（A）（） （B）（）（C）（） （D）（）14.（天津卷10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为B（A）（B） （C）（D）15.（安徽卷7）是方程至少有一个负数根的（B）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（B）A．B．C．D．28\n17.（安徽卷11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（D）A．B．C．D．18.（山东卷3）函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是A19.（山东卷4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为A(A)3(B)2(C)1(D)-120.（江西卷3）若函数的值域是，则函数的值域是BA．B．C．D．21.（江西卷6）函数在区间内的图象是D22.（江西卷12）已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是BA．B．C．D．23.（湖北卷4）函数的定义域为DA.B.28\nC. D.24.（湖北卷7）若上是减函数，则的取值范围是CA.B.C.D.25.（湖北卷13）已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为. 26.（湖南卷10）设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是(D)A.B.C.D.27.（陕西卷7）已知函数，是的反函数，若（），则的值为（A）A．B．1C．4D．1028.（陕西卷11）定义在上的函数满足（），，则等于（C）A．2B．3C．6D．929.（重庆卷4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为C(A)(B)(C)(D)30.（重庆卷6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是C(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数31.（福建卷4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为B28\nA.3B.0C.-1D.-232.（福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是D33.（广东卷7）设，若函数，有大于零的极值点，则（B）A．B．C．D．34.（辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（A）A．B．C．D．35.（辽宁卷12）设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（C）A．B．C．D．一．填空题：1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝22.（上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)∪(1,+∞)3.（上海卷11）方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是(－∞,－6)∪(6,+∞);4.（全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则．228\n2BCAyx1O345612345.（北京卷12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则2；－2．（用数字作答）6.（北京卷13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是②．7.（北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2022棵树种植点的坐标应为．8.（安徽卷13）函数的定义域为．9.（江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝．ln2－1．10.（江苏卷14）对于总有≥0成立，则=．411.（湖南卷13）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点.(-1,2)12.（湖南卷14）已知函数（1）若a＞0,则的定义域是;(2)若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.28\n13.（重庆卷13)已知(a>0)，则.314.（浙江卷15）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___。115.（辽宁卷13）函数的反函数是__________．一．解答题：1.（全国一19）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：2.（全国二22）．（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．28\n解：（Ⅰ）．2分当（）时，，即；当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．6分（Ⅱ）令，则．故当时，．又，所以当时，，即．9分当时，令，则．故当时，．因此在上单调增加．故当时，，即．于是，当时，．当时，有．28\n因此，的取值范围是．12分3.（北京卷18）．（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．解：．令，得．当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．4.（四川卷22）．（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点。28\n（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。【解】：（Ⅰ）因为所以因此（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，当时，所以的单调增区间是的单调减区间是（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。5.（天津卷21）（本小题满分14分）已知函数（），其中．28\n（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：02－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解些不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．28\n所以，因此满足条件的的取值范围是．6.（安徽卷20）．（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。解(1)若则列表如下+0--单调增极大值单调减单调减(2)在两边取对数,得,由于所以(1)由(1)的结果可知,当时,,为使(1)式对所有成立,当且仅当,即7.（山东卷21）（本小题满分12分）已知函数其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，当n=2时，所以（1）当a＞0时，由f(x)=0得＞1，＜1，28\n此时f′（x）=.当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0,f(x)单调递增.（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a≤0时，f(x)无极值.（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以当n为偶数时，令则g′（x）=1+＞0（x≥2）.所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.当n为奇数时，要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′（x）=1-≥0（x≥2）,所以当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，所以当x≥2时，恒有h(x)＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，28\n故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.令则当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，因此 当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1)≤x-1成立.故 当x≥2时，有≤x-1.即f（x）≤x-1.8.（江苏卷17）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km)，将表示成x的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则,故，又OP＝10－10ta，所以，所求函数关系式为②若OP=(km)，则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为28\n（Ⅱ）选择函数模型①，令0得sin，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。9.（江苏卷20）若，，为常数，且（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（Ⅱ）设为两实数，且,若求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．（Ⅰ）恒成立（*）因为所以，故只需（*）恒成立综上所述，对所有实数成立的充要条件是：（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线对称．因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为2°如果.28\n（1）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以即当时，令，则，所以，当时，，所以=时，，所以=在区间上的单调增区间的长度和=（2）当时.，当，因为，所以，故=28\n当，因为，所以故=因为，所以，所以当时，令，则，所以，当时，，所以=时，，所以=在区间上的单调增区间的长度和=综上得在区间上的单调增区间的长度和为10.（江西卷22）．（本小题满分14分）已知函数，．．当时，求的单调区间；．对任意正数，证明：．解：、当时，，求得，于是当时，；而当时，．即在中单调递增，而在中单调递减．（2）.对任意给定的，，由，若令，则…①，而…②28\n（一）、先证；因为，，，又由，得．所以．（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则（ⅰ）、当，则，所以，因为，，此时．（ⅱ）、当…③，由①得,，，因为所以…④同理得…⑤，于是…⑥今证明…⑦,因为，只要证，即，也即，据③，此为显然．因此⑦得证．故由⑥得．综上所述，对任何正数，皆有．28\n11.（湖北卷20）.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.解：水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.12.（湖南卷21）（本小题满分13分）已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(I)求函数的单调区间;（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解:（Ⅰ）函数的定义域是，设则28\n令则当时，在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，设则由（Ⅰ）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为13.（陕西卷21）．（本小题满分12分）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．（Ⅰ）求函数的另一个极值点；（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．28\n解：（Ⅰ），由题意知，即得，（*），．由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．当时，；当时，．（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．14.（重庆卷20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.） 设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴.（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.解：(Ⅰ)因为又因为曲线通过点（0，2a+3）,故28\n又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故即-2a+b=0,因此b=2a.(Ⅱ)由(Ⅰ)得故当时，取得最小值-.此时有从而所以令，解得当当当由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.15.（福建卷19）（本小题满分12分） 已知函数. （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； （Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,由点在函数y=f′(x)的图象上,又所以所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,故点也在函数y=f′(x)的图象上.28\n(Ⅱ)解:,由得.当x变化时,﹑的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗注意到,从而①当,此时无极小值；②当的极小值为,此时无极大值；③当既无极大值又无极小值.16.（福建卷22）（本小题满分14分） 已知函数f(x)=ln(1+x)-x1 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.（Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（Ⅳ）求证：本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.解法一：（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f〃(x)=-1=.由f〃(x)>0得-1<x<0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；由f〃(x)<0得x>0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i)>28\n又lim,因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知因为[]2=所以＜(nN*),则＜N*）解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为f(x)在上是减函数，所以 则（i）因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立. 则对n∈N*恒成立. 设n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立. 考虑 因为＝0，28\n 所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小，又因为＝1.所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].(ⅱ)由(ⅰ)知下面用数学归纳法证明不等式①当n=1时，左边＝，右边＝，左边<右边.不等式成立.②假设当n=k时,不等式成立.即当n=k+1时，=即n＝k＋1时，不等式成立综合①、②得，不等式成立.所以即.17.（广东卷19）．（本小题满分14分）设，函数，，，试讨论函数的单调性．28\n【解析】对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。18.（浙江卷21）（本题15分）已知是实数，函数。（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值。（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得。本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，28\n当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，所以．综上所述，（ii）令．若，无解．若，解得．若，解得．故的取值范围为．19.（辽宁卷22）．（本小题满分14分）设函数．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．28\n解：（Ⅰ）．2分故当时，，时，．所以在单调递增，在单调递减．4分由此知在的极大值为，没有极小值．6分（Ⅱ）（ⅰ）当时，由于，故关于的不等式的解集为．10分（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有．12分又时，．且．取整数满足，，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是．综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为．14分28
