高考数学试题分类汇编数列一．选择题：1.（全国一5）已知等差数列满足，，则它的前10项的和（C）A．138B．135C．95D．232.（上海卷14）若数列{an}是首项为1，公比为a－的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（B）A．1B．2C．D．3.（北京卷6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（C）A．B．C．D．4.（四川卷7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(D) （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）5.（天津卷4）若等差数列的前5项和，且，则B（A）12 （B）13 （C）14 （D）156.（江西卷5）在数列中，，，则AA．B．C．D．7.（陕西卷4）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（B）A．64B．100C．110D．1208.（福建卷3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为CA.63B.64C.127D.12821\n9.（广东卷2）记等差数列的前项和为，若，，则（D）A．16B．24C．36D．4810.（浙江卷6）已知是等比数列，，则=C（A）16（）（B）16（）（C）（）（D）（）11.（海南卷4）设等比数列的公比，前n项和为，则（C）A.2B.4C.D.一．填空题：1.（四川卷16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。安徽卷（14）在数列在中，，，,其中为常数，则的值是12.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910．．．．．．．按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．3.（湖北卷14）已知函数,等差数列的公差为.若,则.－64.（湖北卷15）观察下列等式：21\n……………………………………可以推测，当≥2（）时，.，05.（重庆卷14)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16=.-72一．解答题：1.（全国一22）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数．数列满足，．（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设，整数．证明：．解析：（Ⅰ）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间21\n是增函数，，即成立；（ⅱ）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，，也就是说当时，也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.（Ⅲ）证明：由．可得1，若存在某满足，则由⑵知：2，若对任意都有，则，即成立.2.（全国二20）．（本小题满分12分）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．解：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．4分因此，所求通项公式为，．①6分（Ⅱ）由①知，，于是，当时，21\n，，当时，．又．综上，所求的的取值范围是．12分3.（四川卷20）．（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式【解】：由题意知，且两式相减得即①（Ⅰ）当时，由①知于是21\n又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即当时，由由①得因此得4.（天津卷20）（本小题满分12分）在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ） ， ，21\n …… ，（）．将以上各式相加，得（）．所以当时，上式对显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得， ①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，， ．由①可得，．所以对任意的，是与的等差中项．5.（安徽卷21）．（本小题满分13分）设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：;（Ⅲ）设，证明：解(1)必要性：，又，即充分性：设，对用数学归纳法证明当时，.假设则，且21\n，由数学归纳法知对所有成立(2)设，当时，，结论成立当时，,由（1）知，所以且(3)设，当时，，结论成立当时，由（2）知6.（山东卷19)。(本小题满分12分)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1（n≥2）.(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.21\n(Ⅰ)证明：由已知，（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.因为 所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项， 故a82在表中第13行第三列， 因此 又 所以q=2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S， 则（k≥3）.7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n=4时，求的数值；②求的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列21\n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．（Ⅰ）①当n＝4时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．若删去，则有即化简得＝0，因为≠0，所以=4；若删去，则有，即，故得=1．综上=1或－4．②当n＝5时，中同样不可能删去首项或末项．若删去，则有＝，即．故得=6；若删去，则＝，即．化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；若删去，则有＝，即．故得=2．当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，…，，，中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0矛盾；同样若删去也有＝，这与d≠0矛盾；若删去，…，中任意一个，则必有＝，这与d≠0矛盾．综上所述，n∈{4，5}．（Ⅱ）略8.（江西卷19）．（本小题满分12分）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.21\n解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有①由知为正有理数，故为的因子之一，解①得故（2）∴9.（湖北卷21）.(本小题满分14分)已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.21\n所以｛an｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1x-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：当λ≠－18时，b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b对任意正整数n成立，即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)①当n为正奇数时，1<f(n)∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,于是，由①式得a<-(λ+18),<当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）.10.（湖南卷18）.（本小题满分12分）数列(Ⅰ)求并求数列的通项公式；21\n(Ⅱ)设证明：当解:(Ⅰ)因为所以一般地，当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，21\n由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，证法二令，则所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．解法一：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21\n，原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．取，则．原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{an}满足.21\n（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.解：(Ⅰ)因由此有，故猜想的通项为（Ⅱ）令由题设知x1=1且①②因②式对n=2成立，有③下用反证法证明：由①得因此数列是首项为，公比为的等比数列.故④又由①知因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以⑤由④-⑤得21\n⑥对n求和得⑦由题设知即不等式22k+1＜对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=将x2=代入⑦式得Sn=2－(nN*),所以bn=2Sn=22－(nN*)13.（广东卷21）．（本小题满分12分）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．【解析】（1）由求根公式，不妨设，得，21\n（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，①当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,两式相减，得，，，，即，②当时，即方程有重根，，即，得，不妨设，由①可知，，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，21\n（3）把，代入，得，解得14.（浙江卷22）（本题14分）已知数列，，，．记．．求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当时，因为是方程的正根，所以．②假设当时，，因为，所以．即当时，也成立．根据①和②，可知对任何都成立．21\n（Ⅱ）证明：由，（），得．因为，所以．由及得，所以．（Ⅲ）证明：由，得所以，于是，故当时，，又因为，所以．15.（辽宁卷21）．（本小题满分12分）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．解：（Ⅰ）由条件得由此可得．2分猜测．4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．21\n②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．7分（Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．9分故综上，原不等式成立．12分21
