四、利用三角函数的图象求参数范围一、选择题1．【2022届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】已知函数y=sin(π3x+π6)在0,t上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B2．已知向量，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,,则,,故选D.3．【2022届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】已知函数fx=sinx+π6，其中x∈-π3,a，若fx的值域是-12,1，则实数a的取值范围是（）A.0,π3B.π3,π2C.π2,2π3D.π3,π【答案】D【解析】∵fx=sinx+π6的值域是-12,1，∴由函数的图象和性质可知π2≤x+π6≤7π6，可解得a∈π3,π．故选：D．4．函数f(x)=3sin2x+cos2x-m的图象在x轴的上方，则实数m的取值范围是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)-17-\n【答案】C【解析】函数f(x)=3sin2x+cos2x-m的图象在x轴的上方，即fx>0,又fx=3sin2x+cos2x-m=2sin2x+π6-m≥-2-m∴-2-m>0,即m<-2.故选：C.5．【2022届河北省衡水中学高三上学期二调】已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C由题意得“对于任意的恒成立”等价于“对于任意的恒成立”.∵，∴，∴，∴。-17-\n故结合所给选项可得C正确.选C.6．【2022届福建省数学基地校高三总复习检测】已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】A7．【2022届百校联盟高三开学摸底】若的图像关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的图象关于直线对称，，当取最小值时，，，，，即的取值范围是，故选D.8．【2022届云南省大理市云南师范大学附属中学高考适应性月考（二）】将函数f(x)=2cos(ωx+π4)（ω>0）的图象向右平移π4ω个单位，得取函数y=g(x)的图象，若y=g(x)-17-\n在[0,π3]上为减函数，则ω的最大值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B9．【2022届”超级全能生”26省9月联考乙卷】已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,,由，得，,由对称轴,假设对称轴在区间内，可知当k=1,2，3时，，现不属于区间，所以上面的并集在全集中做补集，得，选B.10．【2022届河北省邢台市内丘中学高三8月月考】若函数恰有4个零点，则的取值范围为（）-17-\nA.B.C.D.【答案】B【解析】11．设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若f(12)=0，三角形的内角满足f(cosA)<0，则A的取值范围是（）A.(π3,2π3)B.(π3,π2)C.(π3,π2)∪(2π3,π)D.(π3,π2]∪(2π3,π)【答案】C-17-\n【解析】解；∵f(x)是定义在R上的奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且f12=0，∴f(x)的草图如图，由图知若f(cosA)<0，则cosA<-12，或0<cosA<12又∵A为△ABC内角，∴A∈(0,π)∴A∈(π3,π2)∪(2π3,π)本题选择C选项.12．【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,当时，，由函数是增函数知，所以-17-\n∵，，∴，∵恒成立，∴，故选C.二、填空题13．【2022届安徽省滁州市高三9月检测】若函数的值域是，则的最大值是___________．【答案】【解析】14．【2022届江苏省常熟中学高三10月抽测（一）】已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为__________.【答案】-17-\n【解析】函数,当时,,,画出图形如图所示;，则,计算得出,即的取值范围是.15．【2022届湖北省部分重点中学高三起点】设函数f(x)=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ，其中θ∈[0,5π12]，则导数f′(1)的取值范围是________．【答案】[2，2]16．【2022届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】函数在区间上可找到个不同数，使得，则-17-\n的最大值等于____________。【答案】10【解析】设，则条件等价为的根的个数，作出函数和的图象，由图象可知与函数在区间上最多有个交点，即的最大值为，故答案为.三、解答题17．【2022届江西师范大学附属中学高三10月月考】已知函数fx＝2cosxcosx-π6-3sin2x＋sinxcosx.(1)求fx的最小正周期；(2)若关于x的方程fx-a+1=0在x∈0,π2上有两个不同的实根，求实数a的取值范围.【答案】（1）T＝π；（2）a的取值范围为(1,3+1)∪(3+1,3)【解析】试题分析：(2)原问题等价于a-1=fx，结合函数的图象可得3<a-1<2 或0<a-1<3，求解不等式可得a的取值范围为(1,3+1)∪(3+1,3).试题解析：(1)f(x)＝2cosxcos(x－π6)－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x+π3，∴T＝π.-17-\n(2)∵fx-a+1=0⇔a-1=fx画出函数fx在x∈0,π2的图像，由图可知3<a-1<2 或0<a-1<3故a的取值范围为(1,3+1)∪(3+1,3).18．【2022届宁夏银川市宁夏大学附属中学高三上第二次月考】已知函数，。（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1），；（2）试题解析：（1），由，可得：，所以由，可得递增区间为；由，可得递减区间为；所以，函数的最大值为3，最小值为2；（2）由（1）可得：在上函数的最大值为3，最小值为2；使得在上恒成立，即：，只需满足即可，可得.19．【2022届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】已知函数fx=3sin2x+2cos2x+m0≤x≤π2.（1）若函数fx的最大值为6，求常数m的值；-17-\n（2）若函数fx有两个零点x1和x2，求m的取值范围，并求x1和x2的值；（3）在（1）的条件下，若gx=t-1fx-3sinx-3cosx3cosx+sinxt≥2，讨论函数gx的零点个数.【答案】(1)m=3(2)-3<m≤-2,x1+x2=π3(3)没有零点【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出2x+π6的范围，由正弦函数的最大值和条件列出方程，求出m的值；（2）由x的范围求出z=2x+π6的范围，函数fx在x∈0,π2上有两个零点x1,x2⇔方程2sinz=-1-m在z∈π6,7π6上有两解，再转化为两个函数图象有两个交点，由正弦函数的图象列出不等式，求出m的范围，由正弦函数的图象和对称性求出x1与x2的和；（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出当t≥2时（t﹣1）f（x）的范围，利用商的关系、两角差的正切公式化简3sinx-3cosx3cosx+sinx，由x的范围、正切函数的性质求出3sinx-3cosx3cosx+sinx范围，即可判断出函数g（x）的零点个数．试题解析：（2）令z=2x+π6，∵x∈0,π2，∴z=2x+π6∈π6,7π6，函数fx在x∈0,π2上有两个零点x1,x2⇔方程2sinz=-1-m在z∈π6,7π6上有两解，即函数y=2sinz与z1+z22=π2y=-1-m在z∈π6,7π6上有两个交点由图象可知2×12≤-1-m<2×1，解得-3<m≤-2由图象可知，∴2x1+π6+2x2+π6=π-17-\n解得x1+x2=π3；（3）在（1）的条件下，fx=2sin2x+π6+4，且-12≤2sin2x+π6≤1，则fxmin=2×-12+4=3，当t≥2时，t-1fx≥3（当t=2且x=π2时取等号），3sinx-3cosx3cosx+sinx=3tanx-331+33tanx=3tanx-π6，∵x∈0,π2，∴x-π6∈-π6,π3，3tanx-π6≤3×3=3（当x=π2时取等号），所以当t=2时，函数gx=t-1fx3sinx-3cosx3cosx+sinx有一个零点x=π2，当t>2时，t-1fx>3≥3sinx-3cosx3cosx+sinx恒成立，函数gx=t-1fx3sinx-3cosx3cosx+sinx没有零点.20．【2022届辽宁省庄河市高级中学高三上开学】已知是函数的图象的一条对称轴.（1）求函数的单调递增区间；（2）设中角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：-17-\n试题解析：（1）是函数的一条对称轴或增区间：-17-\n21．已知=（sinx，cosx），=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数f（x）=•且f（－x）=f（x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）f（x）=sin（x+），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到，再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，所以+φ=+kπ，进而得到φ=，利用三角函数的性质求解单调区间即可；（2）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx-cosx和φ（x）=ax—1即可.试题解析：-17-\n（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，]上恒成立.令h（x）=sinx-cosx=sin（x-），x∈[0，]；φ（x）=ax-1如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，-17-\n则：a≥kAB==，故.22．【2022届福建省数学基地校高三单元过关测试】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.（Ⅰ）写出函数的解析式；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.【答案】（1）（2）（3）见解析试题解析：解：（Ⅰ）；（Ⅱ）设则，可化为，设，，则的图象是开口向上的抛物线一段，当且仅当，即，所以的取值范围是.注：该小题也可采用分离参数求解.-17-\n（Ⅲ）问题可转化为研究直线与曲线的交点情况.在上的草图为：当时，直线与曲线上有2个交点，由函数的周期性可知，直线直线与曲线上总有偶数个交点；当时，直线与曲线上有3个交点，由函数的周期性及图象可知，此时.综上所述，当，或，，或时，在上恰有个零点.-17-
