二、二次函数中的参数与恒成立问题一、选择题1．【2022届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式x2－x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.m>B.0<m<1C.m>0D.m>1【答案】CD. ∵m>1⇒m>14,所以m>1是“不等式x2－x+m>0在R上恒成立”的充分不必要条件，故D错误；故选C；2．函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是( )A．a≤0B．a<－4C．－4<a<0D．－4<a≤0【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0；当a≠0时，∵f(x)在R上恒有f(x)<0，∴，∴－4<a<0.综上可知：－4<a≤0.3．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3B．C．5D．7【答案】A【解析】由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，-13-\n则则≥2×=3，当且仅当时取等号，则的最小值是3．故选A．4．【2022届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知函数，若对，均有，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A5．已知函数对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】原不等式等价于：，结合恒成立的条件可得：由对勾函数的性质可知函数在定义域内单调递减，则函数的最小值为：，据此可得：实数的取值范围为.本题选择D选项.6．【2022届“超级全能生”浙江省高三3月联考】已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数-13-\n的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B7．【2022届湖北省七市（州）高三3月联考】已知函数，且f(a2-4)=f(2a-8)，则的最小值为()A.374B.358C.D.274【答案】A【解析】因函数y=f(x)的对称轴为x=-a+82，故由题意可得a2-4+2a-82=-a+82，即a2+2a-12+a+8=0，也即a2+3a-4=0，解之得a=-4或a=1（舍去），则f(x)=x2+4x。记g(n)=f(n)-4an+1=n2+4n+16n+1，令t=n+1⇒n=t-1，故g(t)=(t-1)2+4t-4+16t=t2+2t+13t=t+13t+2(t≥2,t∈N*)，又t+13t≥213（当且仅当t=13取等号），由于t∈N*，则t=3或t=4取最小值，容易算得g(3)=3+133+2=273=913，g(4)=4+134+2=374=914，由于g(4)<g(3)，故应选答案A。点睛：本题是一道较为困难的试题，求解时充分借助题设中所提供的条件，依据函数图像的对称性建立含参数a的方程a2-4+2a-82=-a+82，求得a=-4，进而确定函数的解析式f(x)=x2+4x；然后再考虑函数g(n)=f(n)-4an+1=n2+4n+16n+1的最小值的求解方法，求解时先运用基本不等式探求整数t的取值可能为t=3或t=4，进而通过求出函数值g(4)<g(3)进行比较，从而求得最小值使得问题获解.8．【2022届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】对任意实数a,b定义运算“⊗”：a⊗b=b,a-b≥1a,a-b<1，设fx=(x2-1)⊗(4+x)，若函数y=fx+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A.(-2,1)B.[0,1]C.[-2,0)D.[-2,1)-13-\n【答案】D【解析】由题意可得f(x)=x+4,x∈(-∞,-2]∪[3,+∞)x2-1,x∈(-2,3)，画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知，-1<-k≤2,-2≤k<1，选D.9．【2022届浙江省台州市高三4月调研】已知θ∈[0,π)，若对任意的x∈[-1,0]，不等式x2cosθ+(x+1)2sinθ+x2+x>0恒成立，则实数θ的取值范围是（）A.(π12,5π12)B.(π6,π4)C.(π4,3π4)D.(π6,5π6)【答案】A10．【2022届江西省六校高三上第五次联考】定义在上的偶函数f(x)，其导函数为f，(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+xf,(x)<2恒成立，则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围为（ ）A.xx≠±1B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C.（﹣1，1）D.（﹣1，0）∪（0，1）【答案】B-13-\n由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1）即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B.11．【2022届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期第一次月考】已知，不等式对于一切实数恒成立，又存在，使成立，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由不等式对于一切实数恒成立，得，由存在，使成立，得，所以，且，=，令，，当，解得，代入，选B.12．【2022届江西省高三4月联考】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.-13-\n【答案】B【解析】易知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取得最大值，所以有，解得，故选B.二、填空题13．已知函数f(x)=x,x>0x2-4x,x≤0，若f(x)≥ax-1恒成立，则实数a的取值范围是_____.【答案】-6,014．【2022届上海市普陀区高三二模】设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为不等式对于任意的恒成立，所以不等式对于任意的恒成立，令，即对于任意的恒成立，因为，所以，则，即，解得或（舍）；故答案为.【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法③求得的最大值.15．【2022届河南省南阳市第一中学高三8月测试】若正实数满足-13-\n，且不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】16．已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为.【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.三、解答题17．设函数．（1）当时，记函数在[0，4]上的最大值为，求的最小值；（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．【答案】（1）；（2）【解析】-13-\n试题分析：（1）当，,对称轴为．所以的最大值，即可得到的最小值．（2）显然．．然后再对，和进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果．（2）显然．．①当时，只需满足由及，得，与矛盾．②当时，只需满足由，得，∴，与矛盾．③当时，只需满足由①，②得．由②，③得，又，∴，即，再结合②得，④∴．当时，由④得，此时满足①，②，③及．综上所述，的最大值为，此时．-13-\n18．【2022届西藏林芝市第一中学高三9月月考】已知函数（，）．（1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为；(2)的取值范围为．试题解析：（1）由题意得，，且，∴，，∴，单调递减区间为，单调递增区间为．（2）在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立．设，，则在上递减，∴，∴，即的取值范围为．19．【2022届重庆市第一中学高三9月月考】已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立.（1）求函数的解析式；（2）设，求时的值域.-13-\n【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）已知条件提供了二次函数的对称轴与最小值，因此二次函数解析式可配方为顶点式，从而列出关于的方程组，从而解得，得解析式；（2）是分式函数，由于分母是一次的，分母是二次的，可用换元法设，转化后易得函数的单调性，从而得值域．试题解析：（2）令，则所求值域为.20．【2022届浙江省温州中学高三3月模拟】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)-13-\n，对任意实数x，不等式2x≤f(x)≤12(x+1)2恒成立，（Ⅰ）求f(-1)的取值范围；（Ⅱ）对任意x1,x2∈[-3,-1]，恒有|f(x1)-f(x2)|≤1，求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)(-2,0];(Ⅱ)14≤a≤9+1732.【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，借助不等式恒成立建立函数分析探求；（2）借助题设条件运用分类整合思想分析探求：(Ⅰ)由题意可知f(1)≥2,f(1)≤2∴f(1)=2，∴a+b+c=2，∵对任意实数x都有f(x)≥2x，即ax2+(b-2)x+c≥0恒成立，∴{a>0(b-4ac≤0，由a+b+c=2,∴a=c,b=2-2a此时f(x)-12(x+1)2=(a-12)(x-1)2，∵对任意实数x都有f(x)≤12(x+1)2成立，∴0<a≤12,∴f(-1)=a-b+c=4a-2的取值范围是(-2,0].(Ⅱ)对任意x1,x2∈[-3,-1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1等价于在[-3,-1]上的最大值与最小值之差M≤1，由(ⅱ)当-3<x0≤-2,即14<a≤13时，M=f(-1)-f(x0)=4a+1a-4≤1恒成立.（ⅲ）当x0≤-3，即0<a≤14时，M=f(-1)-f(-3)=4-12a≤1⇒a=14.综上可知，14≤a≤9+1732.21．【2022届浙江省温州中学高三3月模拟】已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)=g(x)x．-13-\n（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（Ⅰ）{a=1b=0;（Ⅱ）(-∞ ,0]．【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再借助导数知识分析求解：（Ⅰ）g(x)=a(x-1)2+1+b-a，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故{g(2)=1g(3)=4，解得{a=1b=0．22．【2022届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】设函数（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）；（2）分三种情况讨论，，，分别根据函数的单调性求得最小值，即可得到求函数在区间上的最小值分段函数的解析式；（3）为偶函数，在单调递减，在单调递增可得-13-\n)，解不等式即可的结果.试题解析：（1）.（2），为偶函数,，故函数在单调递减，在单调递增，①当，即时，在区间单调递减，.②当时，在区间单调递增，.（3）为偶函数，在单调递减，在单调递增.,所以不等式的解集为.-13-
