十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点一、选择题1．【2022年云南省第二次统一检测】已知，直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】直线化简为：，圆心到直线的距离为，整理为：，即，整理为，设，所以，解得或（舍），即，解得：，故选C.2．【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B3．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D-18-\n点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．4．【2022届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（）A.或B.C.D.或【答案】C【解析】如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由及-18-\n知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即∴，故选C．5．若方程x-2cosθ2+y-2sinθ2=10≤θ<2π的任意一组解x,y都满足不等式y≥33x，则θ的取值范围是()A.π6,7π6B.5π12,3π12C.π2,πD.π3,π【答案】D6．【2022届河北省衡水中学高三下第二次摸底】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设，且的外接圆的方程为，将分别代入可得，由可得，即-18-\n，所以，即，所以，应选答案A.7．【2022届山西省实验中学高三下模拟】已知圆的方程为，过直线：（）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线在轴上的截距为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】如图,由,得圆心坐标为(3,4)，要使切线长最小,即圆心到直线l:(a>0)的距离最小，8．【2022届重庆市巴蜀中学高三三诊】设是双曲线的右顶点，-18-\n是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF=,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P,,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.9．【2022年湖南省考前演练卷三】中心为原点的椭圆焦点在轴上，为该椭圆右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B10．【2022届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线y2=4x的焦点为F，点Px,y为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PFPA的最小值是（）A.12B.22C.32D.233【答案】B【解析】-18-\n解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，PFPA=cos∠NPA=22．故选B．11．【2022届河北省石家庄市高三二模】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】-18-\n结合图形知，当点为椭圆的右顶点时，取最小值最小值是故选：C．12．【2022届云南省昆明一中高三第一次摸底】设为坐标原点，是以为焦点的抛物线（）上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】由题意可得，设，则，可得．当且仅当时取得等号，选A.二、填空题13．【2022届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】直线l与抛物线y2=4x交于两不同点A，B.其中Ax1,y1，Bx2,y2，若y1y2=-36，则直线l恒过点的坐标是__________．-18-\n【答案】9,0【解析】设直线为x=my+n,则x=my+ny2=4x得y2-4my-4n=0,∴y1+y2=4my1y2=-4n,y1y2=-36∴-4n=-36,∴n=9,直线为x=my+9，恒过9,0故答案为9,0.14．【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长的最小值为__________，的面积的最大值为__________．【答案】10.15．【2022届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】设圆与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若过点且斜率为的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，则的值__________，若直线与抛物线相交于两点，且与圆相切，切点在劣弧上，则的取值范是__________.【答案】【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为：-18-\n∵点F坐标为(0,1),∴kFB=,∴kl>kFB，所以直线l与圆交于P1、P3两点,与抛物线交于P2、P4两点，设把直线l方程：y=x+1代入x2=4y,得x2−4x−4=0,∴x2+x4=4；把直线l方程：y=x+1代入x2+y2=12,得2x2+2x−11=0,∴x1+x3=−1∴，∵直线m与该圆相切,∴,即，又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1，∴，-18-\n∵,∴分别过A.B的圆的切线的斜率为.∴k∈[],∴0⩽k2⩽2,∴，∵b>0,∴b∈[]所以|MF|+|NF|的取值范围为.16．【2022届河南省中原名校高三上第一次联考】如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（－4，0）、F2（4，0）、E1（0，－4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y＝x、y＝－x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为________________．【答案】②③故答案为：②③．三、解答题17．【2022届南宁市高三摸底】已知抛物线C:y2=axa>0上一点Pt,12到焦点F的距离为2t.-18-\n（l）求抛物线C的方程；（2）抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q3,-1的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2，求证：k1×k2为定值.【答案】(1)y2=x；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程y2=x，及A1,1，Q3,-1，设过点Q3,-1的直线l的方程为x-3=my+1,代入y2=x得y2-my-m-3=0,由韦达定理可求得k1k2为定值上。试题解析：（1）由抛物线的定义可知PF=t+a4=2t，则a=4t，由点Pt,12在抛物线上，则at=14，∴a×a4=14，则a2=1，由a>0，则a=1，∴抛物线的方程y2=x.18．【2022届广西柳州市高三上摸底】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】（1）.（2）【解析】-18-\n试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.试题解析：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，∵到焦点的距离等于到其准线的距离，∴，∴.∴抛物线的方程为.∵-18-\n即，得：，∴，即或，代人①式检验均满足，∴直线的方程为：或.∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.19．【2022届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知动点满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.试题解析：（1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，所以，动点的轨迹的方程：.（2）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：-18-\n由 得，所以，，直线的方程为：，所以，令，则，所以直线与轴交于定点. 20．【2022届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点A1,32，C的四个顶点构成的四边形面积为43.（1）求椭圆C的方程；（2）E,F为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线AE,AF，使其满足:①直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数；②线段EF的中点在直线x=12上.若存在，求出直线AE和AF的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x24+y23=1;(2)直线AE,AF的方程分别为y=32x，y=-32x+3或y=-32x+3，y=32x.试题解析：(1)由已知得1a2+94b2=1ab=23a>b>0，解得a2=4,b2=3，∴椭圆C的方程x24+y23=1.-18-\n(2)设直线AE的方程为y-32=kx-1，代入x24+y23=1，得3+4k2x2+4k3-2kx+4k2-12k-3=0.(*)设Ex1,y1，Fx2,y2，且x=1是方程(*)的根，∴x1=4k2-12k-33+4k2，用-k代替上式中的k，可得x2=4k2+12k-33+4k2，故EF中点横坐标为x1+x22=3+4k22=12，解得k=±32，∴直线AE,AF的方程分别为y=32x，y=-32x+3或y=-32x+3，y=32x.21．【2022届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，过点E7,0的椭圆C1的两条切线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2:x2=4y的两条切线l1,l2，切点分别为B,C，且直线BC过点A1,1？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)x24+y23=1；(Ⅱ)满足条件的点P有两个.试题解析：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则kNE=1，NE的直线方程为y=x-7，因为椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，所以椭圆C1:x24c2+y23c2=1，-18-\n所以y=x-7,x24c2+y23c2=1,Δ=0，则c=1，所以椭圆方程为x24+y23=1.（Ⅱ）设点Bx1,y1，Cx2,y2，Px0,y0，由x2=4y，即y=14x2，得y'=12x，∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y-y1=x12x-x1，即y=x12x+y1-12x12，∵y1=14x12，∴y=x12x-y1.∵点Px0,y0在切线l1上，∴y0=x12x0-y1.①同理，y0=x22x0-y2.②综合①、②得，点Bx1,y1，Cx2,y2的坐标都满足方程y0=x2x0-y.∵经过Bx1,y1，Cx2,y2两点的直线是唯一的，∴直线BC的方程为y0=x2x0-y，∵点A1,1在直线BC上，∴y0=12x0-1，∴点P的轨迹方程为y=12x-1.又∵点P在椭圆C1上，又在直线y=12x-1上，∴直线y=12x-1经过椭圆C1内一点0,-1，∴直线y=12x-1与椭圆C1交于两点.∴满足条件的点P有两个.22．【2022届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.（1）求椭圆C的方程.-18-\n（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的范围.【答案】(1)（2）5（3）设直线的方程为,代入椭圆方程，消去，根据、、恰好构成等比数列，求出,进而表示出，即可得出结论。表示出的面积，利用基本不等式，即可求出的范围。（2）依题意，直线斜率存在且，设直线的方程为（），、由，因为、、恰好构成等比数列，所以，即；所以 此时得，且（否则：，则，中至少有一个为，直线、-18-\n中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） 所以；所以所以是定值为5； （3）（，且）所以 .-18-
