专题能力训练3 平面向量与复数一、能力突破训练1.(2022天津河西区高三质量调查)若复数z满足(z-3)·(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( ) A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i答案：D2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=( )A.B.C.D.答案：C解析：设a=+,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=+.因为a和长度相等,方向相同,所以a=,故选C.3.设a,b是两个非零向量,下列结论正确的为( )A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|答案：C解析：设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cosθ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cosθ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=( )A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i答案：D解析：===2+i所对应的点为(2,1),关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.-1B.0C.1D.2答案：C解析：∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为( )A.p2,p3B.p1,p24\nC.p2,p4D.p3,p4答案：C解析：z==-1-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案：D解析：如图,设=a,=b.则·=(+)·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= . 答案：-解析：∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-.9.(2022山东,文11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ= . 答案：-3解析：∵a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.10.在△ABC中,若·=·=4,则边AB的长度为 . 答案：2解析：由·=4,·=4,得·+·=8,于是·(+)=8,即·=8,故||2=8,得||=2.11.已知a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),f(θ)=a·b,则f(θ)的最大值为 . 答案：2解析：f(θ)=a·b=cosθ-sinθ=2=2cos,故当θ=2kπ-(k∈Z)时,f(θ)max=2.12.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= . 答案：解析：由题意可作右图,∵OA=1,AP=,又PA=PB,∴PB=.∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.∴·=||||·cos60°=××=.4\n13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上取一点P,使·有最小值,则点P的坐标是 . 答案：(3,0)解析：设点P的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,·有最小值1.此时点P的坐标为(3,0).14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案：解析：由题意=+=+=+(+)=-+,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.二、思维提升训练15.若z=4+3i,则=( )A.1B.-1C.+iD.-i答案：D解析：因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|==5,共轭复数为=4-3i.故=-i,选D.16.(2022浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3答案：C解析：由题图可得OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=·>0,I1=·<0,I3=·<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.17.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+·=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为( )A.2B.3C.4D.6答案：B解析：因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+·=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.18.(2022天津,文9)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 . 答案：-2解析：∵==-i为实数,∴-=0,即a=-2.19.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= . 答案：2解析：∵c=ta+(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,b·c=0,4\n∴0=t|a||b|cos60°+(1-t),0=t+1-t.∴t=2.20.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= . 答案：1解析：如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以+=0,+=0.又因为+++=0,所以=++.①同理=++.②由①+②得,2=++(+)+(+)=+,所以=(+).所以λ=,μ=.所以λ+μ=1.21.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= . 答案：1+2i解析：因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,a,b∈R,所以解得故a+bi=1+2i.4
