专题能力训练16 圆锥曲线中的热点问题(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.在△ABC中,AB=2BC,以A,B为焦点,经过C的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则( ) A.=1B.=2C.=1D.=22.已知椭圆=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是( )A.1B.C.D.3.已知点F是双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(1,2)C.(2,1+)D.(1,1+)4.(2022浙江杭州第二次教学质量检测,文7)设双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0),圆x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A,直线AF交另一条渐近线于点B,若,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.D.5.设抛物线W:y2=4x的焦点为F,过F的直线与W相交于A,B两点,记点F到直线l:x=-1的距离为d,则有( )A.|AB|≥2dB.|AB|=2dC.|AB|≤2dD.|AB|<2d6.设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)上的动点,且满足≤2,则a+b的取值范围为( )A.[2,+∞)B.[1,2]C.[1,+∞)D.(0,2]7.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )A.B.C.+1D.-1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8\n8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A.如果△APF是边长为4的正三角形,则此抛物线的焦点坐标为 ,点P的横坐标xP= . 9.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是 . 10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足=0,则= . 11.(2022浙江杭州第二中学仿真,文13)已知点A在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,点M,N在抛物线C上,且位于x轴的两侧,O是坐标原点,若=3,则点A到动直线MN的最大距离为 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)(2022安徽,文20)设椭圆E的方程为=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.13.(本小题满分15分)(2022浙江,文22)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若|PF|=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.8\n14.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.若直线PQ斜率为时,PQ=2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.8\n参考答案专题能力训练16 圆锥曲线中的热点问题1.A 解析:如图,分别设椭圆与双曲线的标准方程为=1(a>b>0),=1(a'>0,b'>0),焦距为2c,则可知AB=2c,BC=c,∵C在椭圆上,∴|AC|+|BC|=2a⇒|AC|=2a-c.又∵C在双曲线上,∴|AC|-|BC|=2a',即2a-c-c=2a'⇒=1⇒=1.2.D 解析:由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,则=3.所以b2=3,即b=.3.B 解析:若△ABE是锐角三角形,只需∠AEF<45°,在Rt△AFE中,|AF|=,|FE|=a+c,则<a+c⇒b2<a2+ac⇒2a2-c2+ac>0⇒e2-e-2<0⇒-1<e<2,又e>1,则1<e<2.故选B.4.A 解析:因为,所以|FB|=|BA|,因为|OF|=|OA|,所以FA⊥OB,∠OAF=∠AFO,所以∠BOF=∠OAF+∠AFO=2∠AFO,因为∠BOF+∠AFO=90°,所以∠BOF+∠BOF=90°,解得∠BOF=60°,所以-=tan(180°-∠BOF)=tan120°=-,即,所以双曲线C的离心率是e==2.故选A.5.A 解析:设AB中点为M,准线与x轴的交点为P.分别过A,M,B作准线的垂线,分别交准线于点C,N,D,如图所示:由抛物线定义可知|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|.8\nMN为梯形ACDB的中位线,所以|MN|=,当且仅当AB垂直于x轴时,|MN|=|PF|,否则,若AB不垂直于x轴,则四边形MNPF为梯形,且|MN|>|PF|.综上,≥d,即|AB|≥2d.故选A.6.A 解析:曲线a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)为如下图所示的菱形ABCD,设C,D,由≤2≤2,可知点P应在以F1(0,1),F2(0,-1)为焦点且长轴长为2的椭圆及其内部,故需≤1,,即a≥1,b≥.所以a+b≥1+=2.故选A.7.C 解析:由题设易知B(0,1),A(0,-1),过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,则由抛物线的定义可得|PB|=|PM|.∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PM|.∴.设PA的倾斜角为α,则sinα=,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切.设直线PA的方程为y=kx-1,代入抛物线方程,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,∴Δ=(-4k)2-4×1×4=0,解得k=±1,当k=1时P(2,1),则双曲线的实轴长2a=||PA|-|PB||=||=2-2,故双曲线的离心率e=+1.同理可求k=-1.8.(1,0) 3 解析:如图所示,8\n设P,则|PA|==4,①又在Rt△AMF中,∠AFM=∠FAP=60°,故tan∠AFM=,②联立①②得p=2,|y0|=2,故焦点坐标为(1,0),点P的横坐标为xP==3.9.5 解析:依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.10.0 解析:F,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由=0知,=(0,0),故y1+y2+y3=0.∵,同理可知,∴=0.11. 解析:抛物线C的准线方程是x=-,因为点A在抛物线C的准线上,所以-=-,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,设直线MN的方程为x=ky+b,M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN与x轴的交点是D(b,0),由消去x,得y2=2(ky+b),即y2-2kb-2b=0,所以y1y2=-2b,因为=3,所以x1x2+y1y2=3,因为=2x1,=2x2,所以(y1y2)2+y1y2-3=0,即b2-2b-3=0,解得b=3或b=-1,因为点M,N在抛物线上,且位于x轴的两侧,所以b=3,故直线MN过定点D(3,0),当AD⊥MN时,点A到动直线MN的距离最大,且最大距离是.12.(1)解:由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而.进而a=b,c==2b,故e=.8\n(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得.又=(-a,b),从而有=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以=0,故MN⊥AB.13.解:(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0).由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0.于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1).所以由=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又因为|AB|=4,点F(0,1)到直线AB的距离为d=,所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f>f.所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.14.解:(1)设P,∵直线PQ斜率为时,PQ=2,∴=3,∴=2.∴=1,∵e=,∴a2=4,b2=2.∴椭圆C的标准方程为=1.(2)以MN为直径的圆过定点F(±,0).设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),且=1,8\n即+2=4,∵A(-2,0),∴直线PA方程为y=(x+2),∴M,直线QA方程为y=(x+2),∴N,以MN为直径的圆为(x-0)(x-0)+=0,即x2+y2-y+=0,∵-4=-2,∴x2+y2+y-2=0,令y=0,则x2-2=0,解得x=±,∴以MN为直径的圆过定点(±,0).8
