[第16讲 圆锥曲线中的热点问题](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知a，b为正常数，F1，F2是两个定点，且|F1F2|＝2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，则动点P的轨迹是( )A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线2．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为( )A．0<m<5B．1≤m<5C．1<m<5D．m>13．以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A．(0，2)B．(2，0)C．(4，0)D．(0，4)4．已知点P是双曲线－＝1上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ的中点M的轨迹方程是( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝15．若抛物线y2＝2px的焦点在圆(x－p)2＋(y－1)2＝4内，则实数p的取值范围是________.提升训练6．在直角坐标平面内，已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，则点P的轨迹方程是( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝17．已知点P为抛物线x2＝12y的焦点，A，B是双曲线3x2－y2＝12的两个顶点，则△APB的面积为( )A．4B．6C．8D．128．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5B．7C．13D．159．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2B．3C．D．10．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－3)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.11．已知动点M(x，y)，向量m＝(x－3，y)，n＝(x＋3，y)，且满足|m|＋|n|＝8，则动点P的轨迹方程是____________.12．如图161所示，直线y＝m与抛物线y2＝4x交于点A，与圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是________.-7-\n图16113．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点.(1)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程.(2)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A，B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.14．已知点M到点F(1，0)和直线x＝－1的距离相等，记点M的轨迹为C．(1)求轨迹C的方程；(2)过点F作相互垂直的两条直线l1，l2，曲线C与l1交于点P1，P2，与l2交于点Q1，Q2，试证明：＋＝；(3)圆锥曲线在某些性质方面呈现统一性，在(2)中，我们得到的是关于抛物线的一个优美结论，请你写出关于椭圆Γ：＋＝1的一个相类似的结论(不需证明).-7-\n15．已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)与椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)在第一象限的公共点为A(2，1)，设抛物线C1的焦点为F，椭圆C2的左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，△F1F2F面积为6.(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；(2)设A1，A2为椭圆C2的左、右顶点，P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，直线l：x＝，l与直线A1P，A2P分别交于点M，N，试探究：在x轴上是否存在定点D，使得以线段MN为直径的圆恒过点D，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；(3)推广(2)，得椭圆一般性的正确命题，据此类比，得到双曲线的一般性正确命题，请直接写出这个双曲线的正确命题(不必证明).图162-7-\n专题限时集训(十六)A【基础演练】1．C [解析]因为a2＋1≥2a(当且仅当a＝1时，等号成立)，所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|.当a≠1时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；当a＝1时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2.2．B [解析]由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，要使直线与椭圆恒有公共点，只需定点(0，1)在椭圆上或椭圆内，所以m≥1.由于焦点在x轴上，所以0<m<5，于是满足条件的m的范围是1≤m<5.3．B [解析]直线x＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2，0)．4．A [解析]设M(x，y)，则P(x，2y)，将(x，2y)代入双曲线的方程得－＝1，所以所求轨迹方程为－＝1.5． [解析]抛物线y2＝2px的焦点为，由题意得，<2，解得－2<p<2.【提升训练】6．B [解析]因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，所以|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，所以|PA|＋|PB|＝|AQ|＝6，又|PA|＋|PB|>|AB|，从而点P的轨迹是中心在原点，以A，B为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b2＝9－4＝5，所以椭圆方程为＋＝1.7．B [解析]依题有P，A，B，故OP＝3，AB＝4，所以S△APB＝·|AB|·|OP|＝×4×3＝6.8．B [解析]由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.9．A [解析]直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2.10．－1 [解析]根据抛物线的定义知，点P到准线的距离即点P到焦点F(1，0)的距离．因为焦点F到圆心(0，3)的距离为，所以点P到圆上点Q与到准线距离之和的最小值为－1.-7-\n11．＋＝1 [解析]由已知得＋＝8，即动点P到两定点M(3，0)，N(－3，0)的距离之和为常数，且|PM|＋|PN|>|MN|＝6，所以动点P的轨迹是椭圆，且2a＝8，2c＝6，所以椭圆方程为＋＝1.12．(4，6) [解析]过A作AA′垂直准线交准线于A′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，而焦点恰为圆的圆心，所以△ABF的周长C＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝|AA′|＋|AB|＋|BF|＝|BA′|＋|BF|，显然2<|BA′|<4，所以4<C<6.13．解：(1)设抛物线C的方程为y2＝2px(p≠0)，则抛物线的焦点坐标为.由已知得，＝2，即p＝4，故抛物线C的方程是y2＝8x.(2)设圆心M(a，b)，点A(0，y1)，B(0，y2)．因为圆M过点P(2，0)，则可设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝(a－2)2＋b2.令x＝0，得y2－2by＋4a－4＝0，则y1＋y2＝2b，y1·y2＝4a－4.所以|AB|＝＝＝.设抛物线C的方程为y2＝mx(m≠0)，因为圆心M在抛物线C上，所以b2＝ma，所以|AB|＝＝.由此可得，当m＝4时，|AB|＝4为定值．故存在一条抛物线y2＝4x，使|AB|为定值4.14．解：(1)因为点M到点F(1，0)和直线x＝－1的距离相等，由抛物线定义，可知曲线C是抛物线，其中F(1，0)是焦点，所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)根据图形可以直观判断，直线l1，l2的斜率存在且不等于0，故不妨设l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1.因为曲线C与l1交于点P1，P2且l1过焦点F(1，0)，所以|P1P2|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.同理可得|Q1Q2|＝＝4＋4k2，所以＋＝＋＝.(3)若l1，l2是过椭圆Γ：＋＝1的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与l1交于点P1，P2，与l2交于点Q1，Q2，则＋＝.15．解：(1)将点A(2，1)代入x2＝2py得，(2)2＝2p，∴p＝4，∴抛物线C1的方程为x2＝8y，∴抛物线的焦点为F(0，2)，依题意，S△F1F2F＝×|F1F2|×|OF|＝×2c×2＝6，∴c＝3.方法一：∴椭圆方程为＋＝1，将点A(2，1)代入得，＋＝1，解得a2＝12或a2＝6，∵a2＝6时，a＝＜3＝c，不合题意，舍去，-7-\n∴a2＝12，∴椭圆C2的方程为＋＝1.综上得，抛物线C1的方程为x2＝8y，椭圆C2的方程为＋＝1.方法二：∴F1(－3，0)，F2(3，0)，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝12－9＝3，∴椭圆C2的方程为＋＝1.综上得，抛物线C1的方程为x2＝8y，椭圆C2的方程为＋＝1.(2)方法一：设P(x0，y0)，则＋＝1，由(1)知，A1(－2，0)，A2(2，0)，直线l：x＝4，kPA1＝，kPA2＝，7分直线PA1：y－0＝(x＋2)，直线PA2：y－0＝(x－2)，∴M，N，假设存在定点D(m，0)符合题意，则·＝0，又＝，＝.∴·＝(4－m)2＋(42－12)＝0，即(4－m)2＋4×＝0，∵＋＝1，∴＝1－，即＝－，代入得(4－m)2＋4×＝0，解得，m＝3或m＝5，∴存在定点(3，0)或(5，0)符合题意．方法二：取点P为上顶点(0，)，∵A1(－2，0)，A2(2，0)，∴直线PA1：y＝(x＋2)，直线PA2：y＝－(x－2)，∵直线l：x＝4，∴M(4，2＋)，N(4，－2＋)，∴以MN为直径的圆为：(x－4)2＋(y－)2＝4，令y＝0代入解得，x＝3或x＝5.∴猜想存在定点D(3，0)或(5，0)符合题意，证明如下：设P(x0，y0)，则＋＝1，则y＝3，kPA1＝，kPA2＝，直线PA1：y－0＝(x＋2)，直线PA2：y－0＝(x－2)．-7-\n∴M，N.当D为(3，0)时，＝，＝，∴·＝1＋(42－12)＝1＋×4＝1＋3××4＝0，同理可证，当D为(5，0)时，也符合·＝0，∴⊥，∴以MN为直径的圆恒过点D(3，0)或(5，0)．综上得，存在定点D(3，0)或(5，0)符合题意．(3)所得双曲线的一般结论为：设A1，A2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，P为双曲线上异于A1，A2的任意一点，直线l：x＝(其中c为半焦距)，l与直线A1P，A2P分别交于点M，N，则在x轴上存在定点D，使得以线段MN为直径的圆恒过点D，且定点D的坐标为(c，0)或.-7-
