第七章不等式与证明测试题班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2022山东，文1】设集合则A.B.C.D.【答案】C【解析】2．【2022届浙江台州中学高三10月月考】已知，，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.3．若，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】A【解析】当时，B不正确，当时，C不正确，当时，D不正确，由不等式的性质一知A正确，故选A．4．【2022河南南阳第一中学模拟】若实数，满足，则的范围是（）11\nA.B.C.D.【答案】C【解析】，令x+y=t，则即，∴x+y的取值范围是.本题选择C选项.5．已知实数满足，若的最小值为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B6．【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若，使成立的一个充分不必要条件是（）11\nA.B.C.且D.【答案】D【解析】A中，不满足；C中，不满足；B中，不满足；D中由可得，但由得不到，如．选D.7．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A8．【2022湖北武汉高三起点调研】某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗原料2千克，原料3千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗原料都不超过12千克的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为（）A.1800元B.2100元C.2400元D.2700元【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元，则根据题意可得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线，然后把直线向可行域平移，可得，此时最大，11\n故选C.9．【2022湖北部分重点中学联考】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知成等差数列，则cosB的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，,当且仅当时取等号，因此选A.10．【2022湖南永州第一次模拟】《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（）A.B.C.D.【答案】D11.【2022江西南昌三中模拟】在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线，于不同两点，若，，11\n均为正数，则的最小值为（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】由题意作出图形如下：易知由于M、O、N三点共线，可知，所以，故选C12．【2022江西南昌三中模拟】已知函数，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.[4，＋∞)D.(4，＋∞)【答案】D11\n∵m＜n，且f（m）=f（n），由图象可知，0＜m＜1＜n，∴||=||，即，∴m=，∴m+3n=+3n，令g（n）=+3n（n＞1），则g'（n）=﹣+3＞0，∴g（n）在（1，+∞）上递增，∴g（n）＞g（1）=4，即m+3n的取值范围是（4，+∞），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是．【答案】【解析】用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是.14．【2022山西45校第一次联考】设表示不超过的最大整数，如，11\n，则方程的解集为__________．【答案】【解析】或或，故答案为.15.若关于的不等式的解集为，则的值为__________．【答案】816．【2022江苏南京市溧水高级中学模拟】以为钝角的中，，当角最大时，面积为________．【答案】【解析】过作，垂足为，则，，又，设，则，当且仅当，即时取“=”，由正切函数的单调性可知此时也最大，综上所述，的面积为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若函数的值域为，求实数的取值范围.【答案】11\n18．（I）已知集合若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若不等式，对任意实数都成立，求的取值范围.【答案】（I）1≤a≤2；（II）.【解析】(I)A={x|x<－2或x>3}，B={x|－a<x<4－a}∵A∩B=φ，∴∴1≤a≤2(Ⅱ)当，不等式成立，∴当时,则有∴的取值范围19．已知函数的图象分别与轴、轴交于两点，且，函数，当满足不等式，时，求函数的值域.【答案】【解析】,又,所以K=2，又，可得,=因为，所以函数值域为11\n20．在中，角所对的边分别为，且成等差数列．（1）求角的大小；（2）若，求边上中线长的最小值．【答案】（1）．（2）．（2）设边上的中点为，由余弦定理得：，当时取到”＝”所以边上中线长的最小值为．21.已知，．（1）当时，①解关于的不等式；②若关于的不等式在上有解，求的取值范围；（2）若，证明不等式．【答案】（1）①当时，时，，时，；②（2）见解析.【解析】（1）①不等式代入整理为，当时，时，，时，；②整理得有解，当11\n时最大值为5，取值范围是（2），所以，即.22.【2022届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）． （1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时，，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，11\n所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．11
