【高考复习方案】（新课标）2022届高考数学一轮复习第6单元不等式、推理与证明课时作业文课时作业(三十二) [第32讲 不等关系与不等式](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．[2022·江门调研]设a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式中正确的是( )A．a－b>0B．a3＋b3>0C．a2－b2<0D．a＋b<02．[2022·烟台一模]设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( )A．a3>b3B.<C．ab>1D．lg(b－a)<03．[2022·漳州质检]下列命题中，正确的是( )A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若<，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－d4．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga2a，则m，n，p的大小关系为( )A．n>m>pB．m>p>nC．m>n>pD．p>m>n5．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是________．能力提升6．[2022·咸阳三模]已知a，b∈R，则“a＋b>0且ab>0”是“a>0且b>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知<<0，给出四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.其中不正确的不等式的个数是( )A．0B．1C．2D．38．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a9．纪念邮票票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张．某同学拿50元钱买纪念邮票，如果每种邮票至少买2套，设买票面1.2元的x套，买票面2元的y套，则x，y应满足的条件为________．10．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．11．现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2(a－b－)；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．12．(13分)设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．难点突破13．(12分)2022年8月，第2届青年奥林匹克运动会在南京市举行，下表为奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格．25\n比赛项目票价(元/场)篮球160足球110乒乓球90某球迷赛前准备用2000元预订15张表中三种球类比赛的门票．若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过篮球比赛门票的费用，求可以预订的篮球比赛门票数．25\n课时作业(三十三) [第33讲 一元二次不等式及其解法](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．[2022·抚顺一模]已知集合A＝{x|x2＋3x－10＜0}，B＝{x∈N|log2(x＋1)＜2}，则A∩B等于( )A．{0，1，2}B．{－1，0，1}C．{－1，2}D．{0，1}2．[2022·惠州一模]不等式≥0的解集为( )A．[－2，1]B．(－2，1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)3．[2022·沈阳质检]不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A．[－4，4]B．(－4，4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)4．一元二次不等式ax2－bx＋1＞0的解集为)，则不等式x2－bx＋a＞0的解集是( )A．(－1，3)B．(－1，)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(，＋∞)5．不等式2x2－x－1<0的解集为________．能力提升6．“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是( )A．(3，4)B．(－2，－1)∪(3，4)C．(3，4]D．[－2，－1)∪(3，4]8．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值为( )A．0B．－2C．－D．－39．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是( )A．[10，16)B．[12，18)C．[15，20)D．[10，20)10．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是________．11．[2022·南昌二模]若不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是________．12．(13分)已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.难点突破13．(12分)[2022·长沙质检]已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．25\n课时作业(三十四) [第34讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( )A.B.C.D.2．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )A.B.C.D.3．[2022·韶关调研]已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－3y的最大值为( )A．1B．2C．3D．44．[2022·保定二模]设变量x，y满足不等式组则2x＋3y的最大值等于( )A．1B．10C．41D．505．[2022·武汉调研]设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．6．若点(x，y)位于曲线y＝2|x|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的最小值为________．能力提升7．[2022·揭阳一模]若不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A．1B．－1C．0D．－28．O为坐标原点，点M的坐标为(1，1)，若点N(x，y)的坐标满足则·的最大值为( )A.B．2C.D．29．已知圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x＋y≤4与圆面C的公共区域的面积大于S，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)∪(1，2]D．(－∞，－1)∪(1，2)25\n10．已知甲、乙两种不同品牌的PVC管材都可截成A，B，C三种规格的成品配件，且每种PVC管同时截得三种规格的成品个数如下表：A规格成品(个)B规格成品(个)C规格成品(个)品牌甲(根)211品牌乙(根)112现在至少需要A，B，C三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个．若甲、乙两种PVC管材的价格分别是20元/根、15元/根，则完成以上数量的配件所需的最低成本是( )A．70元B．75元C．80元D．95元11．已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是( )A．[，6]B．(－∞，]∪[6，＋∞)C．(－∞，3]∪[6，＋∞)D．[3，6]12．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围是________．13．设x，y满足不等式组若z＝ax＋y的最大值为2a＋6，最小值为2a－2，则实数a的取值范围是________.14．(10分)若x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．15．(13分)某市西部生态新城启动建设，招商引资共30亿元建设若干个项目．现有某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.该投资人计划投资金额不超过10亿元，为确保可能的资金亏损不超过1.8亿元，问该投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？难点突破16．(1)(6分)若实数x，y满足且z＝ax＋y取最小值的最优解有无穷多个，则实数a的值为________．(2)(6分)[2022·沈阳质检]要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格的小钢板，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：A规格B规格C规格第一种钢板21125\n第二种钢板123已知A，B，C三种规格的小钢板分别需要至少15，18，27块，所需第一、第二两种钢板的张数分别为m，n，则m＋n的最小值为( )A．11B．12C．13D．1425\n课时作业(三十五) [第35讲 基本不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．“x≥1”是“x＋≥2”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝( )A.B．3C.D．43．[2022·宁波模拟]若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )A.B．1C．2D．44．[2022·咸阳二模]设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )A.＋有最大值4B．ab有最小值C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值5．[2022·抚州一模]y＝(－6≤a≤3)的最大值为________．6．[2022·闽南六校联考]设a，b满足2a＋b＝5，则ab的最大值为________．能力提升7．[2022·青岛模拟]下列说法中正确的是( )A．y＝x＋的最小值是2B．y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4C．y＝sin2x＋的最小值是4D．y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－48．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，那么x＋2y的最小值为( )A．8B．4C．2D．09．[2022·泉州质检]已知向量m＝(x＋1，2)，n＝(3，2y－1)，若m⊥n，则8x＋16y的最小值为( )A.B．4C．2D．410．若不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，25\n则实数x的取值范围是( )A．(－2，0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4，2)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)11．[2022·长沙重点中学联考]某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，则该设备的最佳使用年限是( )A．10年B．11年C．13年D．21年12．[2022·广州二模]设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为8，则ab的最大值是________．13．[2022·福州质检]在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图像交于P，Q两点，则线段PQ长度的最小值是________．14．(10分)已知a>0，b>0，＋＝.(1)求a3＋b3的最小值．(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．15．(13分)[2022·蚌埠质检]某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件．由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)(1)求f(x)的函数解析式；(2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值时x的值．难点突破16．(1)(6分)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(－∞，2－1)C．(－1，2－1)D．(－2－1，2－1)(2)(6分)[2022·宝鸡模拟]已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为( )A.B．4C.D.25\n课时作业(三十六) [第36讲 合情推理与演绎推理](时间：30分钟 分值：65分)基础热身1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A．28B．32C．33D．272．[2022·黄冈中学期中]正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确3．给出下列三个关于类比的说法：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay(x>0，y>0)与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中类比结论正确的个数是( )A．0B．1C．2D．34．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*，n≥4)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，….观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．能力提升5．下列推理是归纳推理的是( )A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6．[2022·长春调研]类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面的运算公式正确的是( )①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③7．[2022·揭阳一模]给出下列等式：＝2cos，＝2cos，＝2cos，请从中归纳出第n个等式＝( )A．2cosB．2cosC．2cosD．2cos8．[2022·武汉模拟]设命题p：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O，A为焦点，长轴长为|OB|的椭圆．已知p为真命题．类比此命题，也有另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是________．25\n9．(13分)[2022·湖北六校联考]阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，②由①＋②，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，则有α＝，β＝，代入③得sinA＋sinB＝2sincos.(1)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sinsin；(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝2sin2C，试判断△ABC的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)难点突破10．(12分)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝(－1)n·2an－2(n≥3，n∈N*)，其前n项和为Sn.(1)a2n＋1关于n的表达式为________；(2)观察S1，S2，S3，S4，…，Sn，在数列{Sn}的前100项中相等的项有________对．25\n课时作业(三十七) [第37讲 直接证明与间接证明](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．[2022·银川模拟]设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中判断正确的个数为( )A．0B．1C．2D．32．[2022·漳州质检]设a，b，c均为正实数，则a＋，b＋，c＋( )A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于23．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．b不能被3整除D．a不能被3整除4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到角A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．5．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．能力提升6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负7．[2022·张家口模拟]分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是( )A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜08．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )A．②③B．①②③C．③D．③④⑤9．若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形25\nD．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形10．某同学准备用反证法证明：函数f(x)在区间[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证|f(x1)－f(x2)|<.那么它的假设应该是________．11．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f()．若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．12．(13分)若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.难点突破13．(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．参考答案课时作业(三十二)1．D [解析]由a＋|b|＜0，得a＜－|b|＜0，而－|b|≤－b，所以a＜－b，即a＋b＜0，故选D.2．D [解析]因为0＜a＜b＜1，所以a3＜b3；a·＜b·，即＜；由0＜a＜1，b＞0，得ab＜a0＝1；由0＜a＜b＜1，得0＜b－a＜1，所以lg(b－a)＜0.3．C [解析]对于选项A，在正数条件下正确，但此时不知道a，b，c，d的正负，所以错误；对于选项B，若c<0，则ac>bc⇒a<b，所以错误；由不等式的性质知C正确；当c＝a，d＝b时，a－c>b－d不成立，所以错误．4．B [解析]因为a>1，所以a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a.又a>1，所以2a>a－1，所以由对数函数的单调性可知loga(a2＋1)>loga2a>loga(a－1)，即m>p>n.5．－，0 [解析]由－<α<β<π，得α<β，且－<α<π，－π<－β<，所以－<α－β<.又α－β<0，所以－<α－β<0.6．C [解析]当ab>0时，a，b同号，又因为a＋b>0，所以a>0且b>0；当a>0且b>0时，有a＋b>0且ab>0.故选C.7．C [解析]由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，故①②不正确；由题知a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，故③正确；a3>b3，故④正确．故不正确的不等式的个数为2.8．D [解析]方法一：由－1<b<0，得b<b2<1.又a<0，所以ab>ab2>a，故选D.方法二：取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.9. [解析]买票面1.2元的x套，需要(1.2×5x)元；买票面2元的y套，需要(2×4y)元．注意到x，y为正整数，根据题意x，y应满足的条件为25\n10．M＞N [解析]∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0，∴M－N＝＋＝＞0，即M＞N.11．2 [解析]①∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1>2a不恒成立；②∵a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，∴a2＋b2>2a－b－恒成立；③∵(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，且>，∴17＋2>17＋2，∴＋>＋恒成立．12．解：方法一：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．方法二：∵x<y<0，∴x－y<0，x2>y2，xy>0，x＋y<0，∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0，∴0<＝<1，∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).13．解：设预订足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n∈N*)张，则篮球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得解得3≤n≤5.又n∈N*，所以n＝4或5.当n＝4时，15－2n＝7；当n＝5时，15－2n＝5.故可以预订7张或5张篮球比赛门票．课时作业(三十三)1．D [解析]A＝{x|x2＋3x－10＜0}＝{x|－5<x<2}，B＝{x∈N|log2(x＋1)＜2}＝{x∈N|0＜x＋1＜22}＝{x∈N|－1＜x＜3}＝{0，1，2}，则A∩B＝{0，1}.2．B [解析]原不等式可化为≤0，则原不等式等价于解得－2＜x≤1.3．D [解析]不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，解得a＜－4或a＞4.4．C [解析]∵不等式ax2－bx＋1＞0的解集为)，∴－1，是方程ax2－bx＋1＝0的两根，则解得25\n∴不等式x2－bx＋a＞0可化为x2－2x－3＞0，即(x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－1或x＞3.5. [解析]因为Δ＝(－1)2＋8＝9＞0，所以方程2x2－x－1＝0有两个不相等的实数根．而方程2x2－x－1＝0，即(2x＋1)(x－1)＝0的两根为x1＝－，x2＝1，故不等式2x2－x－1<0的解集是).6．A [解析]当a＝0时，1>0，不等式成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2ax＋1>0的解集是R，必须解得0<a<1.综上0≤a<1.故“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的充分不必要条件．7．D [解析]由题意得，原不等式为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，解得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a＜1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1.故a的取值范围是[－2，－1)∪(3，4]．8．C [解析]∵x∈(0，]，x2＋ax＋1≥0，∴有x＋a＋≥0，即a≥－x－.设f(x)＝x＋，则f(x)在(0，]上是减函数，∴当x＝时，f(x)有最小值，∴－x－＝－x＋≤－，∴a≥－，即a的最小值为－.9．C [解析]设这批台灯的销售价定为x元，则[30－(x－15)×2]·x＞400，即x2－30x＋200＜0，因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200＜0的解为10＜x＜20.又因为x≥15，所以15≤x＜20.因此，应将这批台灯的销售价格定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．10．[－4，3] [解析]原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3.11．(1，3) [解析]∵x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，∴当x＝－1时，x2＋2x＋2有最小值，且最小值为1.由不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，得|a－2|＜1，解得1＜a＜3，∴实数a的取值范围是(1，3)．12．解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为R，∴不等式ax2＋2ax＋1≥0恒成立．当a＝0时，1≥0恒成立；当a≠0时，则有解得0<a≤1.综上可知，a的取值范围是[0，1]．(2)f(x)＝＝，∵a>0，25\n∴当x＝－1时，f(x)有最小值.又函数f(x)的最小值为，所以有＝，解得a＝，则不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－<0，解得－＜x＜，所以不等式x2－x－a2－a<0的解集为)．13．解：方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴方程为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，故－3≤a＜－1.②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，故－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围是[－3，1]．方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在区间[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1.故所求a的取值范围是[－3，1]．课时作业(三十四)1．A [解析]在平面直角坐标系中作出这三条直线，由题知所围成的三角形区域如图中阴影部分所示．这三条直线所围成的三角形区域在直线x－y＋1＝0的上方，直线x＋y－5＝0的下方和直线x－1＝0的右方，故选A.2．C [解析]不等式组所表示的平面区域如图所示．由得交点A的坐标为(1，1)．又易知B，C两点的坐标分别为(0，4)，，故S△ABC＝××1＝.3．B [解析]作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图)，解方程组得即B(1，0)，25\n由图可知直线y＝x－z经过点B时，z取得最大值，故zmax＝2×1－3×0＝2.4．D [解析]作出不等式组表示的平面区域(如图)，解方程组得即B(10，10)．由图可知直线y＝－x＋z经过点B时，z取得最大值，故(2x＋3y)max＝2×10＋3×10＝50.5. [解析]在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域D(如图所示)．由图知区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为点(1，0)到直线2x－y＝0的距离，即d＝＝.故区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为.6．－4 [解析]作出曲线y＝2|x|与y＝2所围成的封闭区域，即可行域(如图所示)．解方程组得即A(－1，2)．设目标函数z＝2x－y，得y＝2x－z，由图知直线y＝2x－z经过点A(－1，2)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)－2＝－4，故2x－y的最小值为－4.7．A [解析]作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易得A(1，3)，B，，C(1，k)，25\n所以S△ABC＝×(3－k)×－1＝1，解得k＝1或k＝7(舍去)，经验证k＝1时△ABC为直角三角形．故k的值为1.8．B [解析]如图，点N在图中阴影区域内，当O，M，N共线时，·最大，此时N(，)，·＝(1，1)·(，)＝2.9．D [解析]圆面C是圆(x－a)2＋y2＝a2－1的圆周及圆内部的区域，区域D是直线2x＋y＝4及其左下方的半平面．∵区域D和区域C的公共面积大于S，∴圆(x－a)2＋y2＝a2－1的圆心(a，0)在平面区域D内(不在直线2x＋y＝4上)，即2a＋0＜4，且a2－1>0，解得a<－1或1<a<2，故选D.10．C [解析]设需要甲PVC管材x根，乙PVC管材y根，配件所需的成本为z元，于是，问题中包含的约束条件为目标函数为z＝20x＋15y.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图所示)．解方程组得即A(1，4)，由图可知，当直线20x＋15y＝z经过可行域内的点A时，z取得最小值，zmin＝20×1＋15×4＝80，则所需的最低成本是80元．11．A [解析]不等式组表示的平面区域如图所示，表示可行域内的点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，当(x，y)为(1，6)时，取得最大值6；当(x，y)为(，)时，取得最小值.故的取值范围是[，6].12.(，16) [解析]目标函数z＝x2＋y2的几何意义为原点到可行域内点的距离的平方．由可行域(图略)可知原点到直线x＋2y－2＝0的距离最短，且距离的平方为，距离原点最远的点是(4，0)，两点距离的平方为16.又可行域不包括边界，所以z＝x2＋y2的取值范围是(，16).25\n13．[－1，1] [解析]作出不等式组表示的平面区域如图所示．当a＝0时，目标函数z＝ax＋y在点(2，－2)处取得最小值－2，在点(2，6)处取得最大值6，满足题意．当a>0时，由z＝ax＋y的最小值为2a－2，知目标函数z＝ax＋y在点(2，－2)处取得最小值，又因为直线x＋y＝0的斜率为－1，所以－a>－1，得0<a<1.又当z＝ax＋y与x＋y＝0重合时，也符合题意，所以0<a≤1.当a<0时，由z＝ax＋y的最大值为2a＋6，知目标函数z＝ax＋y在点(2，6)处取得最大值，因为直线x－y＋4＝0的斜率为1，所以－a<1，得－1<a<0.又当z＝ax＋y与x－y＋4＝0重合时，也符合题意，所以－1≤a<0.综上知－1≤a≤1.14．解：(1)作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图所示)．解方程组可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．由图知直线y＝x－z＋过A(3，4)时，z取得最小值－2，过C(1，0)时，z取得最大值1，∴z的最大值为1，最小值为－2.(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，即直线ax＋2y＝z过点(1，0)时，z取得最小值，由图像可知－1<－<2，解得－4<a<2，故所求a的取值范围为(－4，2)．15．解：设该投资人对甲、乙两个项目分别投资x亿元、y亿元，可能的盈利为z亿元，则z＝x＋y.依题意得即画出可行域如图中阴影部分所示，25\n作出直线l0：x＋y＝0，作l0的一组平行线l：y＝－2x＋2z，当直线过点A时，直线在y轴上的截距2z最大，此时z最大，解方程组得∴A(4，6)，∴zmax＝4＋×6＝7.故投资人对甲项目投资4亿元、对乙项目投资6亿元，才能使可能的盈利最大．16．(1)1 (2)B [解析](1)方法一：作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图所示)．解方程组，得A(，)，B(3，6)，C(3，－1)，则zA＝＝，zB＝3a＋6＝3(a＋2)，zC＝3a－1，因为zB>zC，所以要使目标函数取最小值的最优解有无穷多个，只要zC＝zA，即a＝1即可．方法二：设l：y＝－ax＋z，z表示直线l在y轴上的截距．当a>0时，要使目标函数取最小值的最优解有无穷多个，只要－a＝kAC＝－1，故a＝1；当a≤0时，不可能使目标函数取最小值的最优解有无穷多个．综上可知，a＝1.(2)依题意得约束条件为目标函数为z＝m＋n.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图所示)．25\n解方程组得即A，.由于，都不是整数，而此问题最优解(m，n)中，m，n必须都是整数，所以点，不是最优解．经过可行域内整点(横、纵坐标都是整数的点)且使截距z最小的直线是y＝－x＋12，经过的整点是(3，9)或(4，8)，故m＋n的最小值是12.课时作业(三十五)1．A [解析]若x≥1，则x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立；反之，只需x＞0.故选A.2．B [解析]由x>2，得x－2>0，则f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立，故n＝3.3．A [解析]∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤，当且仅当a＝2b，即a＝1，b＝时等号成立，故ab的最大值为.4．C [解析]正实数a，b满足a＋b＝1，则①＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，故＋有最小值4.②ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故ab有最大值.③(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故＋有最大值.④a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥1－2×＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故a2＋b2有最小值.5. [解析]由－6≤a≤3，得3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式得≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故y的最大值为.6. [解析]若要ab最大，则a，b必须同号，因为2a＋b＝5>0，所以a，b同为正，25\n所以5＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时等号成立，故ab的最大值为.7．B [解析]当x<0时，(－x)＋－≥2＝2，即x＋≤－2，故选项A不正确；因为x>0，所以y＝2－3x－＝2－3x＋≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，故选项B正确；令sin2x＝t，g(t)＝t＋，则0＜t≤1，g(t)在区间(0，1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5，故选项C不正确；因为x＜0，所以－x＞0，即y＞0，而2－4＜0，故选项D不正确．8．A [解析]由x>0，y>0，x＋2y＝xy，得＋＝1，则x＋2y＝(x＋2y)·＋＝＋2＋2＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，故x＋2y的最小值为8.9．A [解析]由m⊥n，得3(x＋1)＋2(2y－1)＝0，即3x＋4y＝－1，则8x＋16y≥2＝2＝2＝，当且仅当8x＝16y，即x＝－，y＝－时，等号成立，故8x＋16y的最小值为.10．C [解析]因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝8，当且仅当＝，即a＝4b时等号成立，所以＋min＝8.不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，只需x2＋2x＜8，即x2＋2x－8＜0，解得－4<x<2.11．A [解析]由题意可知，每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，则x年的维护费用为2＋4＋…＋2x＝＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，故选A.12．4 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图所示．25\n解方程组得即A(1，4)，由图可知直线y＝－x＋经过点A时，z取得最大值，且zmax＝a×1＋b×4＝8，即a＋4b＝8.∵a＋4b≥4，∴ab≤4，当且仅当a＝4b，即a＝4，b＝1时等号成立，故ab的最大值为4.13．4 [解析]因为过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图像交于P，Q两点，根据f(x)的图像的对称性知P，Q关于原点O对称，故只需考虑x>0时的情况，设P(x，)(x>0)，则|OP|＝≥＝2，当且仅当x＝2时取等号，所以线段PQ长度的最小值为4.14．解：(1)∵a>0，b>0，∴＋≥2，即≥2，由此，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号．又a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3的最小值是4.(2)由(1)得ab≥2，∴2a＋3b≥2＝2≥4＞6，当且仅当2a＝3b时等号成立，故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．15．解：(1)依题意，产品升级后，每件的利润为(200＋)元，年销售量为1－万件，则f(x)＝(200＋)(1－－x)＝198.5－－(x>0)．(2)f(x)＝198.5－－≤198.5－2×＝178.5，当且仅当＝，即x＝40时取等号，即f(x)的最大值是178.5，取得最大值时x的值为40.16．(1)B (2)D [解析](1)由f(x)>0，得32x－(k＋1)3x＋2>0，则k＋1<3x＋.又3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝，即x＝log3时等号成立，∴k＋1<2，即k<2－1，故k的取值范围是(－∞，2－1)．(2)因为1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝时取等号．又因为a2＋4b2＋≥2＋＝4ab＋.令t＝ab，则f(t)＝4t＋在区间(0，]上单调递减，所以f(t)min＝f＝，此时a＝25\n，b＝.课时作业(三十六)1．B [解析]5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.2．C [解析]因为大前提“正弦函数是奇函数”正确，但小前提“f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数”不正确，所以结论“f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数”不正确．3．B [解析]取n＝2，可知(a＋b)2≠a2＋b2，则①类比错误；取α＝，β＝，则sin(α＋β)≠sinαsinβ，则②类比错误；由向量运算法则可知③类比正确．4．f(2n)>(n≥2，n∈N*) [解析]把已知不等式化为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，….观察上述结果，可归纳出的一般结论为f(2n)>(n≥2，n∈N*)．5．B [解析]选项A是椭圆的定义，不属于归纳推理；选项B，从S1，S2，S3猜想出数列{an}的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，是归纳推理；选项C，由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab，属于类比推理；选项D，科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，属于类比推理．6．B [解析]把S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，代入验证，可知①②错误．由已知，得2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．故选B.7．A [解析]由已知等式，可得2cos＝，2cos＝，2cos＝，….故第n个等式为＝2cos.8．以O，A为焦点，实轴长为|OB|的双曲线 [解析]根据题意，画出图形，由垂直平分线的性质可得|PA|＝|PB|，∴||PO|－|PA||＝|OB|＜|OA|，则类比已知命题，得动点P的轨迹是以O，A为焦点，实轴长为|OB|的双曲线．9．解：(1)证明：根据两角和与差的余弦公式有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②，得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，代入③得cosA－cosB＝－2sinsin.(2)利用(1)中的结论和二倍角公式及cos2A－cos2B＝1－cos2C，得－2sin(A＋B)sin(A－B)＝1－1＋2sin2C.因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)sin(A－B)＝－sin2(A＋B)．又因为0<A＋B<π，所以sin(A＋B)≠0，25\n所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝0，从而2sinAcosB＝0.又sinA≠0，所以cosB＝0.又0<B<π，所以B＝，所以△ABC为直角三角形．10．(1)a2n＋1＝(－2)n (2)25 [解析](1)＝＝…＝＝－2，又a1＝1，所以a2n＋1＝(－2)n.(2)由条件知a2n＝2n，故数列{an}为1，2，－2，22，(－2)2，23，(－2)3，24，…，从而可知S1＝S3，S5＝S7，S9＝S11，…，故在数列{Sn}的前100项中相等的项有25对．课时作业(三十七)1．C [解析]由a，b，c不全相等，得①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.故判断正确的有2个．2．D [解析]∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.3．B [解析]由反证法的定义可知，应否定结论，“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”．4．a2＞b2＋c2 [解析]由题意得cosA＝＜0，所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.5．a>c>b [解析]∵b＝，c＝，∴b<c.而a2＝2，c2＝(－)2＝8－2＝8－<8－＝2＝a2，∴a>c，∴a>c>b.6．A [解析]由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.7．C [解析]要证＜a，只需证b2－ac＜3a2.又a＋b＋c＝0，所以只需证(a＋c)2－ac＜3a2，即证a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0，即－2a2＋ac＋c2＜0，即2a2－ac－c2＞0，即(a－c)(2a＋c)＞0，即(a－c)(a－b)＞0，由a>b>c知其一定成立．8．C [解析]若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，则a，b中至少有一个大于1.9．D [解析]由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，故△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，不妨令得那么可得A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π25\n相矛盾，所以假设不成立，因此△A2B2C2是钝角三角形．10．存在x1，x2∈[0，1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥ [解析]要证明的问题是全称命题的形式，则其结论的否定应该是特称命题的形式，即“存在x1，x2∈[0，1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥”．11. [解析]sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.12．证明：要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，即a＋d＋2＜b＋c＋2.因为a＋d＝b＋c，所以只需证＜，即ad＜bc.设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．13．解：(1)由已知得∴d＝2，∴an＝2n－1＋，∴Sn＝n(n＋)．(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r为正整数且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，即(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴2＝pr，即(p－r)2＝0，∴p＝r，与p≠r矛盾，∴假设不成立，即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．25
