第06章不等式与证明一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知等差数列满足：，求（）A.19B.20C.21D.22【答案】C2.【改编题】等差数列的前11项和，则（）A.18B.24C.30D.32【答案】B【解析】，所以，根据等差数列性质：，故选择B.3.【2022届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】已知等比数列中，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则.所以..故选D.4.【2022届河北省衡水中学高三上学期二调】设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（）13\nA.63或120B.256C.120D.63【答案】C【解析】由题意得，解得或.又所以数列为递减数列，故.设等比数列的公比为，则，因为数列为正项数列，故，从而，所以.选C.5.【改编题】已知数列满足，则该数列的前12项和为（）A.211B.212C.126D.147【答案】D，令可得：.本题选择D选项.6.【2022届江西省上饶市高三第二次模拟】已知数列的前项和记为，满足，且，要使得取到最大值，则（）A.B.C.或D.13\n【答案】C【解析】由于，故数列为等差数列，依题意有，所以，开口向下且对称轴为，故或时取得最大值.7.【2022届河南省新乡市三模拟】记集合，，，…，其中为公差大于0的等差数列，若，则199属于（）A.B.C.D.【答案】C8.【2022届陕西省黄陵中学高三（重点班）考前模拟一】在圆内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，若公差，那么的取值集合为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题设已知圆的圆心坐标与半径分别为，最长弦与最短弦分别为，所以，解之得，即，应选答案A.9.【福建省三明市2022年普通高中毕业班5月质量】已知数列的前项和为，且，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A13\n【解析】∵数列{an}满足a1=1,an+1⋅an=2n(n∈N∗)，∴a2⋅a1=2,解得a2=2.当n⩾2时,，∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2.则.本题选择A选项.10.【2022届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考】一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A.B.3C.9D.17【答案】C11.【2022全国卷3（理）】定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：13\n12.【2022全国卷1理】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110【答案】A则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列13\n的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2022全国乙理15】设等比数列满足，，则的最大值为.【答案】64解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，取得最大值.14.【2022上海理11】无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为.【答案】4【解析】由题意或，或，依此类推，又与具备等价性，因此不妨考虑设，若，则；若，则．按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列因此最大化处理可以出现，所以最大值为．13\n15.【2022届“超级全能生”浙江省高三3月联考】等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则数列的公比__________．【答案】2【解析】由题意得.16.在正项等比数列中，已知，若集合，则A中元素个数为．【答案】4029二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【2022天津理18】（本小题满分10分）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，，.求证：.【答案】见解析.【解析】（1）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（2）证明：13\n.所以.18.【2022届河北省衡水中学高三下第二次摸底】已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.【答案】（1）（2）试题解析：解：(1)由题知数列是以为首项，为公差的等差数列，.(2)设等比数列的首项为，则，依题有，即，解得，故，.13\n19.【2022届安徽省巢湖市柘皋中学最后一次模拟】已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）.（2）见解析.故的最小值为.又，所以，即.所以当时，；当时，也适合上式，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，所以，所以.20.【2022届河南省息县第一高级中学高三第七次适应性考试】各项均为正数的等比数列满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；13\n（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）通过，及数列的各项均为正数，可得，计算即可；试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由得由，得或，数列为正项数列，，代入①，得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，，此时，当时，.当时，13\n.综上可知，数列的前项和21.【2022四川理19】已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.（1）若，，成等差数列，求的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求证：.【答案】（1）；（2）．由，，成等差数列，可得，即，则.又，所以.所以.（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率.由，解得.因为，所以.于是，故.22.【2022届湖南省衡阳市高三下第二次联考】已知数列中，，（，）.（1）写出、的值（只写出结果），并求出数列的通项公式；13\n（2）设，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据累加法求通项即可（2）由题可知求和用列项相消法，求出的最大值解不等式即可(2)，则数列是单调递减数列或13\n13
