第02节绝对值不等式【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测绝对值不等式1.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式.2.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.2022浙江理18.2022浙江理8,20.1.绝对值不等式的解法；2.绝对值与分段函数.备考重点：1.常见绝对值不等式的解法；2.绝对值不等式的应用.【知识清单】1.绝对值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．对点练习【2022天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】10\n（当时取等号），所以，综上．故选A．2.绝对值不等式的应用如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．对点练习已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值总大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．【答案】(1){x|x<0}．(2)a≥1．【解析】(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，此时不成立；当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1.综上，原不等式的解集是{x|x<0}．(2)因为当x>0时，g(x)＝ax＋－1≥2－1，当且仅当x＝时“＝”成立，所以g(x)min10\n＝2－1，当x>0时，f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)，所以2－1≥1，即a≥1为所求．【考点深度剖析】浙江高考中，绝对值概念的考查较多，对绝对值不等式的考查还较少，预计未来将增加此部分内容，以更好的与全国高考接轨.考题不会太难，可能与其它知识如函数、集合、数列、充要条件等结合.【重点难点突破】考点1绝对值不等式的解法【1-1】【2022天津，文2】设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】【1-2】【2022·全国卷Ⅰ】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．【答案】(1)f(x)＝（2）.10\n(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.【领悟技法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．【触类旁通】【变式一】若表示不超过的最大整数，则关于的不等式解集为()10\nA.B.或C.D.【答案】C【变式二】【2022·贵阳模拟】已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．【答案】(1)[－1,2]．(2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)．【解析】(1)不等式f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，∴①或②或③解①得－1≤x<－，解②得－≤x≤，解③得<x≤2，即不等式的解集为[－1,2]．(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即f(x)的最小值等于4，∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5.故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．考点2绝对值不等式的证明【2-1】【2022高考浙江理数】已知实数a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<10010\nB．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100【答案】D【2-2】【2022·江苏高考】设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.【答案】见解析【解析】证明：设2x＋y－4＝m(x－1)＋n(y－2)＝mx＋ny－m－2n，∴m＝2，n＝1.又∵|x－1|<，|y－2|<，∴|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a.【领悟技法】两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．【触类旁通】【变式一】【2022·忻州模拟】已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．①求m＋n的值；②若|x－a|<m，求证：|x|<|a|＋1.【答案】①m＋n＝3.②证明：见解析.【变式二】【2022·唐山模拟】设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.10\n(1)证明：<；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．【答案】(1)证明：见解析.(2)|1－4ab|>2|a－b|.【解析】(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2<－2x－1<0，解得－<x<，则M＝.所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.考点3绝对值不等式的综合应用【3-1】判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1．|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( )2．若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )3．|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )4．不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )【答案】1.√ 2.× 3.√ 4.√【3-2】【2022·全国卷Ⅲ】已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．【答案】(1){x|－1≤x≤3}．(2)[2，＋∞)．10\n【领悟技法】含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．【触类旁通】【变式一】已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是.【答案】【解析】设，因为是定义域为的偶函数，所以；又；所以，所以，所以，解得，所以原不等式的解集为.【变式二】【2022·正定模拟】设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1).(2)a≥2.【解析】(1)当a＝1时，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2，所以或或10\n解得x∈∅或0≤x<或≤x≤.综上，不等式的解集为.(2)|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2，转化为|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0，令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，h(x)＝h(x)min＝h＝－1，令－1≥0，得a≥2.易错试题常警惕易错典例：【2022福建三明5月质检】已知函数，．（Ⅰ）当时，求关于的不等式的解集；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．易错分析：一是由于对绝对值的概念理解不好，不能很好地掌握“零点分段讨论法”，将绝对值函数化为分段函数分别接不等式；二是不能正确的利用绝对值不等式的性质，适当放缩不等式．正确解析：（I）当时，不等式为，若时，不等式可化为，解得，若时，不等式可化为，解得，若时，不等式可化为，解得，综上所述，关于的不等式的解集为.（II）当时，，所以当时，等价于，当时，等价于，解得；当时，等价于，解得，所以的取值范围为.温馨提示：10\n1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.10
