第04节数列求和A基础巩固训练1．在等差数列中，=,则数列的前11项和=（）．A．24B．48C．66D．132【答案】D2．【2022届河南省郑州市第一中学高三一轮】已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A.10B.15C.20D.25【答案】C【解析】由题意可得：，由可得，由等比数列的性质可得：成等比数列，则：，综上可得：，当且仅当时等号成立.综上可得，则的最小值为20.本题选择C选项.3.【2022届南宁二中、柳州高中高三9月联考】已知数列2022，2022，1，-2022，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2022项之和__________.【答案】4017【解析】由题意可知9\n所以即数列是以6为周期的数列，又4．【2022届浙江省丽水市高三下质量水平测试】已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且.（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式.【答案】（1），，（2）证明见解析，试题解析：（1）解：∵是关于的方程的两实根，∴，因为，所以，，.（2）∵，故数列是首项为，公比为-1的等比数列.所以，即.5．【2022届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；9\n(2)证明：.【答案】（1）；(2)证明过程见解析试题解析：（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即.(2)证明：∵，，∴.B能力提升训练1．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列前项和的性质知，，故当，，，，时，为整数，故使得为整数的正整数的个数是．故应选C．2．【2022届河南省洛阳市高三上尖子生第一次联考】已知数列满足9\n，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】恒成立，即恒成立，当时，，而时，所以即可，当时，恒成立，综上，故填．3．【2022届湖北省襄阳四中高三8月月考】用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9，则的因数有1,2,5,10，，那么__________.【答案】【解析】由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1）则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）=+g（1）+g（2）+…+g（2n+1-2）=4n+f（n）即f（n+1）-f（n）=4n，据此可得：，以上各式相加可得：9\n.4．已知为数列前项和,若,且,则．【答案】55．已知数列的前项和为，点在抛物线上，各项都为正数的等比数列满足．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记,求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ），当时，当时，，数列是首项为，公差为的等差数列，又各项都为正数，解得9\n（Ⅱ）C思维拓展训练1．已知函数的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列的前n项和为，则的值为()A.B.C.D.【答案】D2．【2022届四川省成都七中高三上入学考试】设等差数列的前项和为，且（是常数，），，又，数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最大值是__________.【答案】2【解析】∵，当n=1时,，解得a1=2c，当n=2时,S2=a2+a2−c，即a1+a2=a2+a2−c，解得a2=3c，∴3c=6，解得c=2.则a1=4,数列{an}的公差d=a2−a1=2，9\n∴an=a1+(n−1)d=2n+2.∵错位相减可得：,则∴数列{Tn}单调递增,T1最小,最小值为，∴，∴m<3，故正整数m的最大值为2.3.【2022届云南省昆明市高三下第二次统测】在平面直角坐标系上，有一点列，设点的坐标，其中，过点的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，设表示数列的前项和，则__________．【答案】4．【2022届广西南宁市金伦中学高三上期末】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：．9\n【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析；当时，，，两式相减得，所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，．（Ⅱ）5．【2022届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次考试】记为差数列的前n项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)令，，若对一切成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式将条件转化为关于首项与公差的方程组,解方程组可得首项与公差的值,再代入通项公式即得的通项公式；（2）因为9\n，所以利用裂项相消法可得,再根据最小值得，即得实数的最大值.试题解析：解：(1)∵等差数列中，，.∴，解得.，.(2)，，随着增大而增大，是递增数列，，，∴实数的最大值为2.9
