专题6.4数列求和【基础巩固】一、填空题1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn＝________.【答案】n2＋1－【解析】该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.2．(2022·南通调研)若等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S4＝10，则数列的前2017项和为________．【答案】3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝________.【答案】－200【解析】S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．(2022·江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16＝________.【答案】7【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.-6-\n5．(2022·泰州模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.【答案】6【解析】由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝1＋10×＝6.6．(2022·南通、扬州、泰州三市调研)设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则(akak＋1)的值为________．【答案】7．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．【答案】60【解析】由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.8．(2022·镇江期末)已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.【答案】4n－1【解析】由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1.二、解答题9．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．-6-\n10．(2022·苏北四市调研)已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*)．(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝，求Sn.解 (1)令n＝1，a1S2－a2S1＋a1－a2＝λa1a2，解得a2＝.令n＝2，a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，解得a3＝.由a＝a1a3得2＝，因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1，所以－＋－＝，即－＝，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)·，即Sn＋1＝an，①-6-\n当n≥2时，Sn－1＋1＝an－1，②由①－②得an＝an－an－1，即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，所以是首项为的常数列，所以an＝(n＋2)．代入①得Sn＝an－1＝.【能力提升】11．(2022·长治联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．【答案】【解析】an＝1＋(n－1)＝n，Sn＝，∴＝＝≥＝，当且仅当n＝4时，取等号．∴的最小值是.12．(2022·盐城中学模拟)在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和为________．【答案】7813．(2022·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝若对于正数kn(n∈N*)，直线y＝knx与函数y＝f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，则数列{k}的前n项和为________．-6-\n【答案】【解析】函数f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，因为直线y＝knx与f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，所以直线y＝knx与第(n＋1)个半圆相切，则＝1，化简得k＝＝，则k＋k＋…＋k＝＝＝.14．(2022·苏、锡、常、镇四市调研)正项数列a1，a2，…，am(m≥4，m∈N*)，满足a1，a2，a3，…，ak－1，ak(k<m，k∈N*)是公差为d的等差数列，a1，am，am－1，…，ak＋1，ak是公比为2的等比数列．(1)若a1＝d＝2，k＝8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；(2)若a1＝d＝2，m<2016，求m的最大值；(3)是否存在正整数k，满足a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝3(ak＋1＋ak＋2＋…＋am－1＋am)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．又a1，am，am－1，…，ak＋1，ak是公比为2的等比数列，则ak＝a1·2m＋1－k，故a1＋(k－1)d＝a1·2m＋1－k，即(k－1)d＝a1(2m＋1－k－1)．又a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝3(ak＋1＋ak＋2＋…＋am－1＋am)，am＝2a1，-6-\n则ka1＋k(k－1)d＝3×2a1×，即ka1＋ka1(2m＋1－k－1)＝3×2a1(2m－k－1)，则k·2m＋1－k＋k＝6(2m－k－1)，即k·2m＋1－k＋k＝6×2m＋1－k－12，显然k≠6，则2m＋1－k＝＝－1＋，-6-
