专题6.4数列求和一、填空题1．(2022·皖西七校联考)在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和Sn＝，则n=______【解析】由an＝＝1－得Sn＝n－＋＋…＋＝n－，则Sn＝＝n－，将各选项中的值代入验证得n＝6.2．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q＝10，则ap－aq＝______3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值为______【解析】当n为奇数时，an＋2－an＝0，所以an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2，所以an＝n，故an＝于是S100＝50＋＝2600.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2017的值为______【解析】因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2016＋a2017)＝10095．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为______【解析】由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin2x＋cosx＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin2x－cosx＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.6．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－，则数列的前n项和Tn＝______【解析】设{an}的公差为d，因为S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋＝a1－，S4＝3a3＋a1＝a1-4-\n－，S1，S2，S4成等比数列，所以2＝a1，整理得4a＋12a1＋5＝0，所以a1＝－或a1＝－.当a1＝－时，公差d＝0不符合题意，舍去；当a1＝－时，公差d＝＝－1，所以an＝－＋(n－1)×(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，所以＝－＝－－，所以其前n项和Tn＝－1－＋－＋…＋－＝－＝－7．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.8．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2016项的和等于________．【解析】因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2016项的和等于S2016＝1008×＝1512.9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.【解析】∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.10．(2022·福建泉州五中模拟)已知lgx＋lgy＝1，且Sn＝lgxn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lgyn，则Sn＝________.-4-\n【解析】因为lgx＋lgy＝1，所以lg(xy)＝1.因为Sn＝lgxn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lgyn，所以Sn＝lgyn＋lg(xyn－1)＋…＋lg(xn－2y2)＋lg(xn－1y)＋lgxn，两式相加得2Sn＝(lgxn＋lgyn)＋[lg(xn－1y)＋lg(xyn－1)]＋…＋(lgyn＋lgxn)＝lg(xn·yn)＋lg(xn－1y·xyn－1)＋…＋lg(yn·xn)＝n[lg(xy)＋lg(xy)＋…＋lg(xy)]＝n2lg(xy)＝n2，所以Sn＝.二、解答题11．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝>0，-4-\n∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.综上所述，≤Tn<.12．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.-4-
