专题6.3等比数列及其求和【基础巩固】一、填空题1．已知{an}，{bn}都是等比数列，给出下列结论：①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列；②{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列；③{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列；④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列．其中正确的是________(填序号)．【答案】③【解析】两个等比数列的积仍是一个等比数列．2．(2022·苏北四市调研)在等比数列{an}中，已知a2·a5＝－32，a3＋a4＝4，且公比为整数，则a10＝________.【答案】512【解析】设等比数列{an}的公比为q(q∈Z)，且a2·a5＝a3·a4＝－32，a3＋a4＝4，解得a3＝－4，a4＝8，q＝＝－2，则a10＝a4q6＝8×(－2)6＝512.3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.【答案】424．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.【答案】－7【解析】由解得或∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.5．(2022·南京、盐城模拟)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.【答案】150【解析】依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，-4-\n故S40－S30＝80.S40＝150.6．(2022·扬州中学模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________．【答案】3【解析】两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．【答案】48．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.【答案】8【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.二、解答题9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.10．(2022·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．-4-\n【能力提升】11．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.【答案】14【解析】设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.12．(2022·盐城中学模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝________.【答案】(9n－1)【解析】∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．-4-\n13．(2022·南京、盐城模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．【答案】20【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由an>0得q>0，Sn>0.又S6－2S3＝(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝S3q3－S3＝5，则S3＝，由S3>0，得q3>1，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝S3q6＝＝，令＝t，t∈(0,1)，则－＝t－t2＝－2＋∈，所以当t＝，即q3＝2时，－取得最大值，此时S9－S6取得最小值20.14．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由．-4-
