第03节函数的单调性与最值班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1．【2022北京模拟】下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|【答案】B【解析】因为对数函数y＝lnx的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数y＝e－x，即y＝x，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数，故选B.2.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数【答案】D3.定义运算，若函数＝在(－∞，m)上单调递减，则实数m的取值范围是( )A．(－2，＋∞)B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－2]【答案】D【解析】∵，∴，∴的单调递减区间为(－∞，－2)，∵函数＝-8-\n在(－∞，m)上单调递减，∴，即，∴实数m的取值范围是.故选D.4.【2022河南新乡测试】已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，符合题意，排除A，D.当时，不符合题意，排除C，故选B.5.【2022四川资阳4月模拟】已知，，下列不等式成立的是A.B.C.D.【答案】D6.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且在上是增函数，则( )A．f(－1)<f(3)B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3)D．f(0)＝f(3)【答案】A 【解析】依题意得，且－1<1<2，于是由函数在上是增函数得．7.已知函数f(x)＝，则该函数的单调递减区间为( )-8-\nA.(－∞，1]B.[3，＋∞)C.(－∞，－1]D.[1，＋∞)【答案】C【解析】由x2−2x−3⩾0得x⩾3或x⩽−1，当x⩽−1时,函数t=x2−2x−3为减函数,∵y=为增函数，∴此时函数f(x)为减函数，即函数的单调递减区间为(－∞，－1]，故选：C8.定义在上的函数满足，当时，，则函数在上有( )A.最小值B.最大值C.最小值D.最大值【答案】C9.【2022课标1】已知函数，则A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减C．y=的图像关于直线x=1对称D．y=的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．10.【2022云南民族中学适应性考试】已知函数则满足不等式的的范围是（）-8-\nA.B.C.D.【答案】D【解析】的图象如下图所示，不等式等价于或解得，故选D．11.【2022陕西西安长安区第一中学模拟】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A12.【2022湖南长沙雅礼中学二模】已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D-8-\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13.已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】由已知可得解得或.所以实数a的取值范围为．14.【2022重庆二诊】设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数的图象，当时，函数单调递减，且最小值为，则令，解得，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则最大值为2，且，，综上得所求实数的取值为.-8-\n15.【2022山西孝义二模】若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________.【答案】【解析】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．16.【2022豫南名校联考】已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数f(x)＝－(a>0，x>0).(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.【解析】(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，-8-\n∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，∴f＝，f(2)＝2，易知a＝.18.已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋，当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.19.已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．-8-\n20.已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.【解析】 (1)由x＋－2＞0，得＞0，当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，∴g′(x)＝1－＝>0.因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.则f(x)min＝f(2)＝ln.(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故a>2时，恒有f(x)>0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞).-8-
