专题三数列第1讲 等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于( )．A．9B．10C．11D．12解析 设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.答案 C2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )．A.B．－C.D．－解析 设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.答案 C3．(2022·杭州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )．A.B．－C．±D．±3解析 依题意得，a4＋a8＝4，a4a8＝3，故a4>0，a8>0，因此a6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6＝＝.答案 A4．在正项等比数列{an}中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )．A．3或－1B．9或1C．1D．9解析 依题意，有3a1＋2a2＝a3，即3a1＋2a1q＝a1q2，解得q＝3，q＝－1(舍去)，5\n＝＝＝9.答案 D5．在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2014的值等于( )．A．－2011B．－2012C．－2014D．－2013解析 根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2014，公差d＝1，故＝－2014＋(2014－1)×1＝－1，所以S2014＝－2014.答案 C6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )．A．3B．4C．5D．6解析 由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.答案 C7．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为( )．A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析 设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．5\n答案 D二、填空题8．(2022·陕西卷)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．解析 由题意设首项为a1，则a1＋2015＝2×1010＝2020，∴a1＝5.答案 59．(2022·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.解析 因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.答案 1010．(2022·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.解析 先求出数列的周期，再进一步求解首项，∵an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.答案 11．(2022·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．解析 由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.答案 2n－112．(2022·湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S35\n成等差数列，则an＝________.解析 由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.答案 3n－1三、解答题13．(2022·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解 (1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d>0，所以d＝2，Sn＝n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1>k＋1>1，故所以14．(2022·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.15．(2022·浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a35\n成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.解 (1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝5
