第2讲 三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2022·新课标全国Ⅰ卷)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )．A．－B.C．－D.解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.答案 D2．(2022·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于( )．A．5B．25C.D．5解析 ∵S＝acsinB＝2，∴×1×c×sin45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4×cos45°.∴b2＝25，b＝5.答案 A3．(2022·浙江卷)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于( )．A.B.C．－D．－解析 ∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.化简，得4sin2α＝－3cos2α，7\n∴tan2α＝＝－.答案 C4．(2022·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析 由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案 D5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )．A.B.C.D.解析 在△ABC中，利用正弦定理得2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝.又A为锐角，∴A＝.答案 D6．已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为( )．A.B.C.D.或解析 依题意得sinβ＝，cosβ＝；注意到sin(α＋β)＝<sinβ，因此有α＋β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sinβ<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sinβ”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝.7\n答案 A7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于( )．A.B．－C．±D.解析 先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由＝，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin2B＝8csinB，所以cosB＝.所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.答案 A二、填空题8．(2022·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．解析 ∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.答案 89．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.解析 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝()2＋32－2××3cos＝5.∴AC＝，由正弦定理得sin∠BAC＝＝＝＝.7\n答案 10．(2022·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.解析 由余弦定理：cosA＝＝＝，∴sinA＝，cosC＝＝＝，∴sinC＝，∴＝＝1.答案 111．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos＝和sin＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos(α＋β)＝－.答案 －12．(2022·四川卷改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC＝________m.7\n解析 如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)．所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．答案 120(－1)三、解答题13．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解 (1)由题意知f(x)＝2cos的最小正周期T＝10π＝，则ω＝.(2)由(1)知f(x)＝2cos，又α，β∈，f＝－，f＝，即cos＝－，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ7\n＝×－×＝－.14．(2022·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝.15．(2022·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．解 (1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.7\n法二 由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为S＝absinC＝.7
