专题检测（七）三角恒等变换与解三角形A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝( )A．－2 B．－2＋C．2－D．2＋解析：选D tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.2．(2019·重庆市学业质量调研)已知sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝( )A．－B．C．－D．解析：选B 法一：由sinθ＝cos(2π－θ)，得sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，则tan2θ＝＝＝.故选B.法二：由sinθ＝cos(2π－θ)，得sinθ＝cosθ，所以tan2θ＝＝＝＝.故选B.3．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)＝( )A．－B．C．－D．解析：选B 法一：因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，因此sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－，\n所以sin2α＝sin(α－β＋α＋β)＝－×＋×＝1.因为α为锐角，所以2α＝，所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝.故选B.法二：同法一可得，sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－.所以cos2(α－β)＝2cos2(α－β)－1＝2×2－1＝－，sin2(α－β)＝2sin(α－β)cos(α－β)＝2××＝－.所以sin(3α－β)＝sin[2(α－β)＋(α＋β)]＝sin2(α－β)·cos(α＋β)＋cos2(α－β)·sin(α＋β)＝×＋×＝.故选B.4．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cosC＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形．故选C.5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acosC＋c，则角A等于( )A．60°B．120°C．45°D．135°解析：选A 法一：由b＝acosC＋c及正弦定理，可得sinB＝sinAcosC＋sinC，即sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinC，即sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sinC，所以cosA·sinC＝sinC，又在△ABC中，sinC≠0，所以cosA＝，所以A＝60°.故选A.法二：由b＝acosC＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cosA＝＝，所以A＝60°.故选A.\n6．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cosα＝cosβ，则v＝( )A．60B．80C．100D．125解析：选C 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsinα＝ACsinβ，即sinα＝sinβ，又cosα＝cosβ，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sinβ＝cosβ，∴sinβ＝，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100.故选C.二、填空题7．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.解析：如图，易知sin∠C＝，cos∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得＝，∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC＝×＋×＝.\n答案： 8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为________．解析：因为△ABC的面积为4，所以ac·sinB＝4.因为2bcosA＋a＝2c，所以由正弦定理得2sinBcosA＋sinA＝2sinC，又A＋B＋C＝π，所以2sinBcosA＋sinA＝2sinAcosB＋2cosAsinB，所以sinA＝2cosBsinA，因为sinA≠0，所以cosB＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.答案：129.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝2，sin∠CAD＝，ACsin∠BAC＋BCcosB＝2BC，且B＋D＝π，则△ABC的面积的最大值为________．解析：在△ABC中，由ACsin∠BAC＋BCcosB＝2BC，结合正弦定理可得sinB·sin∠BAC＋sin∠BACcosB＝2sin∠BAC，∵sin∠BAC≠0，∴sinB＋cosB＝2,2sin＝2，sin＝1，∵0＜B＜π，∴B＋＝，∴B＝.又B＋D＝π，∴∠ADC＝.在△ACD中，∠ADC＝，sin∠CAD＝，∴cos∠CAD＝，则sin∠ACD＝sin[180°－(∠ADC＋∠CAD)]＝sin(∠ADC＋∠CAD)＝×＋×＝，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝.在△ABC中，7＝AC2＝AB2＋BC2－AB·BC≥2AB·BC－AB·BC＝AB·BC，当且仅当AB＝BC时取“＝”，则S△ABC＝AB·BC≤，即△ABC的面积的最大值为.答案：\n三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5，所以b＝7.(2)由cosB＝－得sinB＝.由正弦定理得sinC＝sinB＝.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，所以cosC＝＝.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝×－×＝.11．(2019·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB.(1)求B；(2)若b＝2，tanC＝，求△ABC的面积．解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB，所以由余弦定理，得2accosB＝abcosA＋a2cosB，又a≠0，所以2ccosB＝bcosA＋acosB，由正弦定理，得2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinC，又C∈(0，π)，sinC＞0，所以cosB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由tanC＝，C∈(0，π)，得sinC＝，cosC＝，\n所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得a＝＝＝6，所以△ABC的面积为absinC＝×6×2×＝6.12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－sinAsinC.(1)求B；(2)求sinA＋cosC的取值范围．解：(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin2A＋sin2C－sinAsinC，故b2＝a2＋c2－ac，cosB＝＝，又B∈，所以B＝.(2)由(1)知，C＝－A，故sinA＋cosC＝sinA＋cos＝sinA－cosA＝sin.又A∈，C＝－A∈，所以A∈，A－∈，sin∈，故sinA＋cosC的取值范围为.B组——大题专攻强化练1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE.CB＝2，BE＝1，∠B＝∠CED＝.(1)求sin∠AED的值；(2)若AB∥CD，求CD的长．\n解：(1)在△BEC中，由余弦定理得，CE＝＝，又＝，所以sin∠BCE＝，因为∠B＝∠CED，所以sin∠AED＝sin∠BCE＝.(2)因为AB∥CD，所以∠CDE＝∠AED，所以sin∠CDE＝sin∠AED＝，在△CDE中，＝，所以CD＝＝＝7.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAsinB＝cos2，(c－b)sinC＝(a＋b)(sinA－sinB)．(1)求A和B；(2)若△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长．解：(1)因为(c－b)sinC＝(a＋b)(sinA－sinB)，所以(c－b)c＝(a＋b)(a－b)，所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝，所以A＝30°.因为sinAsinB＝cos2.所以sinAsinB＝，即sinB＝1＋cosC.因为B＋C＝150°，所以sinB＝1＋cos(150°－B)，解得B＝30°.(2)因为absinC＝，C＝120°，所以a＝b＝2.因为c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c＝2.在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BMcosB＝7，得AM＝，所以BC边上的中线AM的长为.3．(2019·昆明市质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos\nB)＝b.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由2(c－acosB)＝b及正弦定理得2(sinC－sinAcosB)＝sinB，所以2sin(A＋B)－2sinAcosB＝sinB，即2cosAsinB＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝，又0＜A＜π，所以A＝.(2)因为a＝2，所以由正弦定理得b＝4sinB，c＝4sinC，所以S△ABC＝bcsinA＝bc，所以S△ABC＝4sinBsinC，因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sinC＝sin，所以S△ABC＝4sinBsin＝4sinB，即S△ABC＝2sinBcosB＋2sin2B＝sin2B－cos2B＋＝2sin＋.因为0＜B＜，所以－＜2B－＜，所以－＜sin≤1，所以0＜S△ABC≤2＋.即△ABC面积的取值范围为(0,2＋]．4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围．解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.\n根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.(2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，＝＝＝1，所以a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin＝＝sin.因为0＜A＜，所以＜A＋＜.所以＜sin≤1，从而＜sin≤，所以a＋c的取值范围是.法二：由(1)知，B＝，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，因为b＝，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤，又三角形两边之和大于第三边，所以＜a＋c≤，所以a＋c的取值范围是.
