2022年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)，第二卷第21题为选考题，其他题为必考题．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．）1．设集合,集合，那么为()A．B．C．D．2.执行如以下图的程序框图，输出的S值为()A．9B．16C．25D．363．等差数列中，，那么数列的公差为（）A．1B．2C．3D．44.“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图5343（6题图）5.已知直线与幂函数的图像将于两点，且那么的值为（）.A．B．C．D．6.假设某几何体的三视图(单位：)如以下图，那么该几何体的体积等于( )A．B．C．D．7．如图，四边形为矩形，，，以为圆心，1为半径画圆，交线段于E，在圆弧DE上任取一点P，那么直线AP与线段BC有公共点率为（）A．B．C．D．8.已知半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，假设为半径上的动点，那么的最小值是（）Ａ．-Ｂ.Ｃ．Ｄ.9．设方程与的根分另为，那么（）A．B．C．D．,,假设,使,那么实数的取值范围是（）11/11\nA.B.C.D.第二卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分.）(i为虚数单位)的共轭复数是12.假设变量满足约束条件,那么的最大值是13．展开式中项的系数490,那么实数的值为.14.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点等于15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①m，使曲线E过坐标原点；②对m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④假设P、M、N三点不共线，那么△PMN周长的最小值为2＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，那么四边形GMHN的面积不大于m。其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．在中,角所对的边分别为，，．(Ⅰ)求角的大小；（Ⅱ）假设，求函数的单调递增区间17．4月10日，2022《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如以下图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.11/11\n(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.19.19.已知椭圆C：的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）过轴上一点（的直线交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?假设存在，求出的值及点T的坐标，假设不存在，请说明理由.（Ⅰ）求函数处的切线方程;（Ⅱ）假设为实数，函数上的有极值，求的取值范围；（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？假设存在，请写出的值，并证明你的结论；假设不存在，请说明理由。21．（本小题总分值14分）此题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，那么按所做的前两题计分．(1)（本小题总分值7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A＝，B＝.（Ⅰ）求满足条件AM＝B的矩阵M；（Ⅱ）假设矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程(2)（本小题总分值7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.(3)（本小题总分值7分）选修4－5：不等式选讲设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.2022年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中11/11\n高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷答案本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)，第二卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合,集合,那么为A．B．C．D．2.执行如以下图的程序框图，输出的S值为(B)A．9B．16C．25D．363．等差数列中，，那么数列的公差为（B）A．1B．2C．3D．44.“”是“”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图5343（6题图）5.已知直线与幂函数的图像将于两点，且，那么的值为（C）.A．B．C．D．6.假设某几何体的三视图(单位：)如以下图，那么该几何体的体积等于( B )A．B．C．D．7．如图，四边形为矩形，，，以为圆心，为半径画圆，交线段于，在圆弧上任取一点，那么直线与线段有公共点的概率为（C）A．B．C．D．8.已知半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，假设为半径上的动点，那么的最小值是(D)Ａ．-Ｂ.Ｃ．Ｄ.9．设方程与的根分另为，那么（A）A．B．C．D．,,假设,使,那么实数的取值范围是（B）A.B.C.D.第二卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是－1－i11/11\n12.假设变量满足约束条件,那么的最大值是5/313．展开式中项的系数490,那么实数的值为.答案：14.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点等于答案：15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①m，使曲线E过坐标原点；②对m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④假设P、M、N三点不共线，那么△PMN周长的最小值为2＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，那么四边形GMHN的面积不大于m。其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）1、4、5三、解答题（本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．在中,角所对的边分别为，，．(1).求角的大小；(2).假设，求函数的单调递增区间16.解：（Ⅰ）由得由得,又，得（Ⅱ）由余弦定理可得=由得所以，函数的对称轴为由，得所以所求函数的单调递增区间为17．4月10日，2022《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如以下图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ11/11\n）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）解：（Ⅰ）,,∴,………………………2分估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：………4分（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4．………………6分（Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为，X可能的取值是0，1，2，3．；；；．的分布列为：0123………………11分所以．………13分（或，所以．）18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.(II)由(I)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,那么B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,那么,即,令,那么,,所以.11/11\n同理可得,平面BCC1的法向量为,所以.由题知二面角A1-BC1-C为钝角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值为.(III)设D是直线BC1上一点,且.所以.解得,,.所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,.19．（本小题总分值13分）已知椭圆C：的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）过轴上一点（的直线交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?假设存在，求出的值及点T的坐标，假设不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）设椭圆C：的右焦点为依题目意得：解得：所以，椭圆方程为：（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，得：此时以为直径的圆的方程为：当：直线的斜率为0时，直线的方程为此时以为直径的圆的方程为：要使定点存在，可知方程联立方程组只有一解，解得11/11\n所以点的坐标为时，可能椭圆上存在定点满足题意.当过点直线斜率存在时，存在定点满足题意，设直线的方程为：，由，得：此时，因些，过点直线斜率存在时，以为直径的圆过定点综上所述：存在定点满足题意。（Ⅰ）求函数处的切线方程。（Ⅱ）假设为实数，函数上的有极值，求的取值范围；（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？假设存在，请写出的值，并证明你的结论；假设不存在，请说明理由。解：（Ⅰ）因为，………………………………………1分所以函数在处的切线方程为y=1……………………3分（Ⅱ）因为，，由，令，得当时，；当时，…………………………4分所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。所以函数在处取得极大值。…………………………5分因为函数在区间上有极值，所以，解得。…………………………7分（III）因为过点，结合函数的图象可知，当时，直线与函数的图象恒有公共点，不合题意，所以，又，故。在不等式中，令，得，又，所以。以下证明，时命题成立，即证恒成立………………8分方法一：因为。（*）（i）设，那么，令，得。那么在区间上单调递减，在区间上单调递增。11/11\n所以，即不等式成立。……………………………10分（ii）设，那么，令，得，那么在区间上单调递增，在区间上单调递减。所以，即不等式成立。……………………………13分综上可知（*）式成立，即存在，满足题意。………………………14分方法二：，且。（*）（i）设，。令，得。那么在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，即恒成立。……………10分（ii）设，那么，令，得，那么在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，即恒成立。……………………………13分综上可知（*）式成立，即存在，满足题意。………………………14分21、1、已知矩阵A＝，B＝.(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程解 (1)设M＝，AM＝＝＝，得a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，那么M＝＝＝，∴即代入曲线C：x2＋y2＝1，得()2＋()2＝1.∴曲线C′的方程是＋＝1.11/11\n2、已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.①求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；②设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.【答案】①直线的普通方程为：.…………………2分曲线的直角坐标方程为：【或】.…………………4分②曲线的标准方程为，圆心，半径为1；∴圆心到直线的距离为:…………………6分所以点到直线的距离的取值范围是………………7分（3）（本小题总分值7分）选修4—5：不等式选讲设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.（3）（本小题总分值7分）选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）不等式的解集为，所以，不等式的解集为，．……3分（Ⅱ）函数的定义域为，显然有，由柯西不等式可得：，……5分当且仅当时等号成立,即时,函数取得最大值.…7分学校班级姓名号数…………………………密…………封…………线…………内……………不……………要……………答……………题…………………………2022年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷数学(文)答题卡一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题：（本大题共5题，每题4分，共20分）11．12．13．14．15．11/11\n三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题13分）17．（本小题13分）18．（本小题13分）19．（本小题13分）20．（本小题14分）21．（本小题总分值14分）此题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，那么按所做的前两题计分11/11
