平面向量的坐标运算时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，那么向量的坐标是( )A．(－4，) B．(4，－)C．(－8,1)D．(8,1)解析：＝(－)＝(－5－3，－1＋2)＝(－8,1)＝(－4，)．应选A.答案：A2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，那么P点的坐标为( )A．(－8,1)B．(－1，－)C．(1，)D．(8，－1)解析：设P(x，y)，那么＝(x－3，y＋2)，＝(－5－3，－1＋2)＝(－4，)＝，∴∴答案：B3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，那么顶点D的坐标为( )A．(2，)B．(2，－)C．(3,2)D．(1,3)解析：设D(x，y)，∵＝(4,3)，＝(x，y－2)，且＝2，∴解得答案：A4．(2022·北京海淀模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，且a∥b，那么锐角θ等于( )A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由a∥b可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.4/4\n答案：B5．(2022·宁夏模拟)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，假设A、B、C三点共线，那么＋的最小值是( )A．2B．4C．6D．8解析：kAB＝，kAC＝，∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝.∴2a＋b＝1.∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8.(等号成立的条件为b＝2a)∴＋的最小值是8.答案：D6．直角坐标系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，假设三角形ABC是直角三角形，那么k的可能值个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：假设∠A＝90°，那么·＝6＋k＝0，k＝－6；假设∠B＝90°，那么·＝·(－)＝0，k＝－1；假设∠C＝90°，那么·＝·(－)＝0⇔k2－k＋3＝0无解．∴综上，k可能取－6，－1两个数．应选B.答案：B二、填空题(每题5分，共20分)7．l1、l2是不共线向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2，假设b，c为一组基底，那么a＝__________.解析：设a＝λ1b＋λ2c，即－l1＋3l2＝λ1(4l1＋2l2)＋λ2(－3l1＋12l2)，即－l1＋3l2＝(4λ1－3λ2)l1＋(2λ1＋12λ2)l2.∴解之，得λ1＝－，λ2＝.答案：－b＋c8．(2022·江西高考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，假设(a－c)∥b，那么k＝________.解析：a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，∵(a－c)∥b，∴＝.∴k＝5.4/4\n答案：59．(2022·山东青岛模拟)假设向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b且u∥v，那么x＝__________.解析：u＝(1,2)＋2(x,1)＝(1,2)＋(2x,2)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2,4)－(x,1)＝(2－x,3)．由u∥v，一定存在λ∈R，使u＝λv，那么有(2x＋1,4)＝((2－x)λ，3λ)，∴∴(2x＋1)＝(2－x)，解得x＝.也可由下面的方法求得：由u∥v，得(2x＋1)·3－4(2－x)＝0.∴x＝.答案：10．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m、n满足ma＋nb＝c，那么(m－3)2＋n2的最大值为__________．解析：由ma＋nb＝c得m(1,1)＋n(1，－1)＝(cosα，sinα)，∴∴m＝(sinα＋cosα)，n＝(cosα－sinα)，∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝10－3(sinα＋cosα)＝10－6sin(α＋)，∴(m－3)2＋n2的最大值为16.答案：16三、解答题(共50分)11．(15分)设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，假设点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，＝－＝(5－n)i＋(－2)j，因为A、B、C共线，所以与共线，所以－2(n＋2)＝(1－m)(5－n)．①又m＝2n，②解①②组成的方程组得或12．(15分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．(1)假设点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；(2)假设点A、B、C构成以∠A为直角的直角三角形，求m的值．解：(1)假设点A、B、C能构成三角形，那么这三点不共线．由＝(3,1)、＝(2－m,1－m)不共线，得3(1－m)≠2－m.解得m≠.(2)∵∠A为直角，∴⊥.∴3(2－m)＋(1－m)＝0，得m＝.4/4\n13．(20分)(2022·江苏高考)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)假设a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)假设tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解：(1)因为a与b－2c垂直，b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝＝≤4.又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为4.(3)证明：由tanαtanβ＝16得＝，所以a∥b.4/4
