第五章 平面向量平面向量的概念及初等运算时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．(2022·北京高考)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：∵c∥d且a，b不共线，∴存在唯一实数λ使c＝λd.∴ka＋b＝λa－λb，∴∴应选D.答案：D2．(2022·山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，那么( )A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0解析：∵＋＝2，∴－＋－＝－2，即＋＝0.答案：B3．(2022·广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，那么F3的大小为( )A．2B．2C．2D．6解析：如图1设代表力F1、代表力F2，那么此题实际上是求与的和向量的长度，那么余弦定理||2＝||2＋||2－2||·||cos∠OF1G＝4＋16－2·2·4·＝28.∴||＝2，应选A.图1答案：A4．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( )A．aB．bC．cD．0解析：由共线向量定理可设a＋b＝λ1c，b＋c＝λ2a，所以b＝λ1c－a，b＝λ2a－c.由向量的唯一性可知λ1＝λ2＝－1，所以a＋b＝－c.5/5\n答案：D5．已知a，b是不共线的向量，假设＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )A．λ1λ2－1＝0B．λ1＝λ2＝1C．λ1＝λ2＝－1D．λ1λ2＋1＝0解析：A、B、C三点共线⇔∥⇔λ1λ2＝1.应选A.答案：A6．已知平面内有一点P及△ABC，假设＋＋＝，那么( )A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上解析：因为＋＋＝⇔＋＋＋＝⇔2＋＝0，所以P在线段AC上，选择D.答案：D二、填空题(每题5分，共20分)7．设a和b是两个不共线的向量，假设＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A、B、D三点共线，那么实数k的值等于__________．解析：A、B、D三点共线⇔向量与共线，＝2a＋kb，＝＋＝－a－b＋2a－b＝a－2b，由此可解得k＝－4.答案：－48．设I为△ABC的内心，当AB＝AC＝5，BC＝6时，＝x＋y，那么实数x、y的值分别是__________．解析：如图2，设AI交BC边于D，∵△ABC为等腰三角形，故D为BC中点，BD＝3，在△ABD中，由内角平分线定理可知＝＝.设＝，又＝＋＝＋，∴＝(＋)＝＋，故x＝，y＝.图2答案： 9．如图3所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为r1、r2、r3，那么＝__________.5/5\n图3解析：＝＋＋＋＝r1＋(r2－r1)＋(r3－r2)＋(r1－r2)＝r3＋r1－r2.答案：r3＋r1－r210．(2022·天津高考)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，那么四边形ABCD的面积为__________．图4解析：由＝＝(1,1)知AB綊DC.又＋＝知四边形ABCD为菱形，且AB＝AD＝，又∵2＝3，∴∠ABC＝60°，BD＝.∴∠BAD＝120°，故sin∠BAD＝，∴SABCD＝××＝.答案：三、解答题(共50分)11．(15分)如图5所示，梯形ABCD，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别为DC和AB的中点，假设＝a，＝b，试用a，b表示和.图5解：解法1：连结CN，N为AB的中点．∵AN∥DC，且AN＝DC.∴＝＋＝－a＋b，5/5\n＝－＝＋＝－b＋a.解法2：在梯形ABCD中，有＋＋＋＝0，即a＋＋(－)＋(－b)＝0，可得＝b－a.在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，即有b＋a＋＋(－a)＝0，∴＝a－b.12．(15分)如图6所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.图6(1)用a，b表示向量、、、、；(2)求证：B、E、F三点共线．解：(1)延长AD到G，使＝，连结BG、CG，得到▱ABGC，如图7，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)． ＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)由(1)可知＝，所以B、E、F三点共线．图713．(20分)已知P点是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0.设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.5/5\n解：∵A、Q、B三点共线，∴＝x＋(1－x).∵＋2＋3＝0，∴－＋2－2＋3＝0.∴6＝＋2.又∵C、P、Q三点共线，∴＝λ.∴λ(＋)＝x＋(1－x).∴∴λ＝2，∴＝2p.5/5
