5.2平面向量的坐标表示一.明确复习目标1．理解平面向量的坐标概念;2.掌握平面向量的坐标运算,掌握共线向量的坐标表示；二．建构知识网络1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的根本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。(1)假设,那么(2)假设A(x1,y1),B(x2,y2)那么,表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.(3)向量相等ó坐标相同。2.平面向量的坐标运算(1)假设，那么(2)假设=(x,y)，那么=(x,y)(3)假设，那么11/11\n3.设那么向量共线:向量垂直:，三、双基题目练练手1.(2022山东)设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），假设表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，那么向量d为()A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）2.平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，那么点E坐标为：()A、（-8，）B、（）C、（0，1）D、（0，1）或（2，）3.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，那么|a+b|等于()A.1B.C.D.剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.4.(2022全国Ⅲ)已知向量，且A.B.C三点共线，那么k=.11/11\n5.(2022湖北)．已知向量不超过5，那么k的取值范围是6.设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，O为坐标原点，那么满足+=的的坐标是＿＿＿＿ 7.已知向量，,向量与平行,︱︱=4那么向量的坐标是_____________◆例题答案:1-3.DBD;3.∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=6.法2:利用4.;5.[－6，2];6.（１１，６）.7.或四、经典例题做一做【例1】平面内给定三个向量，答复以下问题：（1）求满足的实数m,n；（2）假设，求实数k；（3）假设满足，且，求解：（1）由题意得所以，得（2）11/11\n（3）设那么由题意得得或,◆方法提炼：1.利用平面向量根本定理,2.利用共线向量定理.【例2】（2022全国Ⅱ）已知向量。（Ⅰ）假设，求；（Ⅱ）求的最大值。解：（Ⅰ）得所以（Ⅱ）由取最大值，◆解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意义，要能熟练解答。11/11\n【例3】已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求。解：设D(x,y),那么得所以【例4】如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，那么C(y2)FABCoyx那么∵与共线,∴即（*）代整理得，y1·y2=-p2∵∴与共线，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O11/11\n解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)欲证A、O、C共线，只需且仅需，即,又∴只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明解题评注：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以防止繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。核心步骤:【研讨.欣赏】(2022上海)在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23)……Pn(n,2n)，其中是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，．．．，An为An-1关于点Pn的对称点。（1）求向量的坐标；（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0,3]时，f(x)=lgx。求以曲线C为图象的函数在上的解析式；（3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标。解.(1)设点A0(x,y),A0关于点P1的对称点A1的坐标为(2-x,4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),11/11\n∴={2,4}.(2)∵={2,4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.又x∈(3k,3k+3)时,x-3k∈(0,3),f(x)周期是3,所以f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k)设曲线C的函数是y=g(x),那么g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4,[此时x+2∈(3k,3k+3),即x∈3k-2,3k+1),]是以3为周期的周期函数.当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4.(3)=,由于,得=2()=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{,}={n,}五．提炼总结以为师1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法那么进展运算。2、两个向量平行的坐标表示。3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。11/11\n同步练习5.2平面向量的坐标表示【选择题】1.（2022年天津，理3）假设平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3，那么b等于()A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）2.正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），那么=（）A、（）B、（）C、（7，4）D、（）3.（2022年辽宁，6）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，那么点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.（2022全国Ⅱ）已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，那么=λe，其中λ等于()A.B.－C.2D.－211/11\n【填空题】5.已知且与平行，那么x=______6．（2022天津）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，假设点C在∠AOB的平分线上且||=2,那么=◆练习简答：1-4.AADD;4.∵是单位向量,∴在上的投影为λ=,5.;6.【解答题】7.已知平面上四点A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形ABCD为凸四边形且BD平分AC时,实数a,b应满足的条件.解:设AC,BD交于点E,易得,又设,(λ>1)∴且8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),假设,试问(1)λ为何值时,点P在一、三象限角平分线上？（2）λ为何值时，点P第三象限？解.设点P的坐标为（x,y），那么11/11\n，由得，点P坐标为（5+5λ,4+7λ）.9.(2022山东)已知向量和，且，求的值解: 因为 由已知，得又所以 ∵ 所以10..已知A（4，0），N（1，0），假设点P满足·=6||.（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）求||的取值范围；解：（1）设P（x，y），=（x－4，y），=（1－x，－y），=（－3，0），∵·=6||，∴－3（x－4）=6，即3x2+4y2=12.11/11\n∴=1.∴P点的轨迹是以（－1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4－x0，=e=，|PN|=d=.∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3.当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（－2，0）.【探索题】已知向量与的对应关系用表示（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2）设，求向量及的坐标；求使，（p，q为常数）的向量的坐标证：（1）设，那么，故，∴（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）（3）设=（x，y），那么，∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）11/11
