江西省2022年高考数学二轮复习小题精做系列之立体几何3一．基础题组1.【河北省衡水中学2022届高三上学期四调考试】右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A．B．C．D．2.【河南省郑州市2022届高中毕业年级第一次质量预测试题】如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由三视图知原图是一个底面为边长为3的正方形，高为的斜四棱柱，所以.-18-\n考点：1.三视图；2.四棱柱的体积.3.【山西省曲沃中学2022届高三上学期期中考试】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是（）A．24B．12C．8D．44.【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2022届高三第二次联考】已知不重合的两条直线和不重合的两个平面，下列命题正确的是（）A．B.C.D.5.【唐山市2022-2022学年度高三年级第一学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．-18-\n6.【河北省衡水中学2022届高三上学期四调考试】如图，已知球O是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球O的截面面积为.7.【唐山市2022-2022学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）-18-\n如图，在三棱锥中，，，D为AC的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）取中点为，连结，．因为，所以．又，，所以平面，因为平面，所以．…3分由已知，，又，所以，因为，所以平面．又平面，所以平面⊥平面．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，两两互相垂直．-18-\n8.【河北省衡水中学2022届高三上学期四调考试】正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，，，点M在线段EC上且不与E，C重合.（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积.-18-\n【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.-18-\n为EC的中点，，到面的距离------------------------------------------12分考点：1.空间向量法证明线面平行；2.空间向量法表示二面角.9.【河北省唐山市一中2022届高三12月月考】（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°.（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．试题解析：（1）∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.-18-\n∴.（2）取中点连接则平面.又直线平面，所以平面平面，∴，∵为中点，，∴，∵，，∴，，∵，，得.-18-\n考点：1.线面垂直的判定和性质；2.正三角形的性质；3.线面平行的判定；4.面面平行的判定；5.空间向量法；6.夹角公式.二．能力题组1.【河北省唐山市一中2022届高三12月月考】已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()2.【山西省曲沃中学2022届高三上学期期中考试】已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为()A．B．C．D．【答案】C-18-\n【解析】试题分析：由条件直径所对的圆周角，由已知，∴与是全等的等腰三角形，∴，，即面，由条件，则为等边三角形，∴.考点：1.几何体与外接球问题；2.锥体求体积的方法.3.【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2022届高三第二次联考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.1B.2C.3D.44.【唐山市2022-2022学年度高三年级第一学期期末考试】如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（）A．2B．1C．D．-18-\n【答案】C【解析】5.【河南省郑州市2022届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于.6.【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2022届高三第二次联考】(本小题满分12分)如图，四边形与均为菱形，设与相交于点，若-18-\n，且.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.-18-\n则，，，-18-\n7.【河南省郑州市2022届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点，与交于点，侧面.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【解析】-18-\n试题分析：本题以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和线面垂直的判定以及线面角的求法，可以运用空间向量法求解，突出考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及计算能力.第一问，由于侧面为矩形，所以在直角三角形和直角三角形中可求出和的正切值相等，从而判断2个角相等，通过转化角得到，又由于线面垂直，可得，所以可证，从而得证；第二问，根据已知条件建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，根据，求出平面的法向量，再利用夹角公式求出直线和平面所成角的正弦值.(2)如图，分别以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系-18-\n则，，，，，又因为，所以…………8分所以，，三．拔高题组1.【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2022届高三第二次联考】已知三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD,BC=CD=4,AB=AD=，则三棱锥A-BCD的外接球的大圆面积为（）A.B.C.D.2.【山西省曲沃中学2022届高三上学期期中考试】如图1，在直角梯形中，，，，.把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．(1)求证：平面平面；-18-\n(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.-18-\n（II）在平面内过作的垂线如图建立空间直角坐标系，则，，，……………6分因为，，-18-
