(二)矩阵与变换1．(2022·南京模拟)已知矩阵A＝，B＝.若直线l：x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．解 因为A＝，B＝，所以AB＝，设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，因为P0(x0，y0)在直线l：x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0.①由AB＝，即＝，得即②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0.2．已知曲线C：y2＝x，C在矩阵M＝对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N＝对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．解 设A＝NM，则A＝＝，设P(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上对应的点为P(x，y)，2\n则＝＝，即∴又点P(x′，y′)在曲线C：y2＝x上，∴2＝y，即x2＝2y.3．已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1.由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，则得x＝－y.令x＝1，则y＝－1，所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.4．(2022·扬州模拟)已知x，y∈R，若点M(1,1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(3,5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.解 因为A＝，即＝，即解得所以A＝.设A－1＝，则AA－1＝＝，即解得所以A－1＝.2
