(六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作抛物线的两条弦AB，CD，设直线AC与BD的交点为P，直线AC，BD分别与y轴交于M，N两点．(1)求证：点P恒在抛物线的准线上；(2)求证：四边形PMFN是平行四边形．证明 (1)由题意知F(1,0)，不妨设A(a2,2a)，D(b2,2b)，a>0，b<0，B(xB，yB)．直线AB的方程为2ax＋(1－a2)y－2a＝0，由得ay2＋2(1－a2)y－4a＝0，由2ayB＝－4，得yB＝－，代入抛物线方程y2＝4x，得xB＝，即B，同理得C，则直线AC的方程为y＝x－，5\n直线BD的方程为y＝x－，则M，N.联立直线AC，BD的方程可得点P的横坐标为定值－1，即点P恒在抛物线的准线上．(2)因为kFN＝＝＝kAC，kFM＝＝＝kBD，所以四边形PMFN是平行四边形．2.如图，已知抛物线C：x2＝2py(p>0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)将点(2,1)代入抛物线C的方程，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)，由得x2－4kx＋4＝0，则Δ＝16k2－16>0，x1,2＝，x1x2＝4，x1＋x2＝4k，所以kA′B＝＝＝，于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)，所以y＝(x－x2)＋＝x＋1，5\n当x＝0时，y＝1，所以直线A′B过定点(0,1)．3.如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使＝，且·＝0.(1)求动点M的轨迹C1；(2)圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点(0,1)的直线l依次交C1于A，D两点(从左到右)，交C2于B，C两点(从左到右)，求证：·为定值．(1)解 方法一 设M(x，y)，P(x1,0)，Q(0，y2)，则由·＝0，＝及R(0，－3)，得化简得x2＝4y.所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线．方法二 设M(x，y)．由＝，得P，Q.所以＝，＝.由·＝0，得·＝0，即x2－3y＝0，化简得x2＝4y.所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(2)证明 由题意，得·＝AB·CD，⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则AB＝FA－FB＝y1＋1－1＝y1.同理CD＝y2.直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立得x2－4kx－4＝0，所以x1,2＝，5\n所以x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，所以·＝AB·CD＝y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1，所以·为定值1.4.如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．(1)若·＝1，求直线l的斜率；(2)求∠ATF的最大值．解 (1)因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，T(－1,0)，当l⊥x轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时·＝0，与·＝1矛盾，所以可设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1,2＝，则x1＋x2＝，x1x2＝1，①故yy＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.②因为·＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1，将①②代入并整理，得k2＝4，所以k＝±2.(2)因为y1>0，所以tan∠ATF＝＝＝≤1，当且仅当＝，即y1＝2时取等号，5\n因为点A在第一象限，所以∠ATF的最大值为.5
