(四)不等式选讲1．已知正数x，y满足x2＋y2＝2，求证：x＋y≥2xy.证明 ∵x>0，y>0，∴要证x＋y≥2xy，只要证(x＋y)2≥4x2y2，即证x2＋y2＋2xy≥4x2y2.∵x2＋y2＝2，∴只要证2＋2xy≥4x2y2，即证2(xy)2－xy－1≤0，即证(2xy＋1)(xy－1)≤0.∵2xy＋1>0，∴只要证xy≤1.∵2xy≤x2＋y2＝2，∴xy≤1成立，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x＋y≥2xy.2．已知a，b，c都是正数且abc＝1，求证：(2＋a)(2＋b)(2＋c)≥27.证明 由算术－几何平均不等式可得2＋a＝1＋1＋a≥3，2＋b＝1＋1＋b≥3，2＋c＝1＋1＋c≥3.不等式两边分别相乘可得，(2＋a)(2＋b)(2＋c)≥3×3×3＝27＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．3．已知函数f(x)＝2|x－2|＋3|x＋3|.若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a＋25b＝m，求＋的最小值，并求出此时a，b的值．解 依题意知，f(x)＝2\n当x＝－3时，函数f(x)有最小值10，故4a＋25b＝10，故＋＝＝≥＝，当且仅当＝时等号成立，此时a＝，b＝.4．(2022·镇江调研)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，求实数a的取值范围．解 ∵对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，∴f(x)min>a2－3，又∵|x－a|＋|x＋a|≥|x－a－(x＋a)|＝|2a|，∴|2a|>a2－3，即|a|2－2|a|－3<0，解得－1<|a|<3.∴－3<a<3.2
