(一)几何证明选讲1.如图，O是△ABC外接圆的圆心，∠ACB＝54°，求∠ABO的值．解 连结OA，因为O是圆心，所以∠AOB＝2∠ACB，所以∠ABO＝(180°－∠AOB)＝(180°－2∠ACB)＝90°－∠ACB＝90°－54°＝36°.2.如图，已知A，B，C是圆O上的三点，BE切圆O于点B，D是CE与圆O的交点，若∠BAC＝60°，BE＝2，BC＝4，求线段CD的长．解 因为BE切圆O于点B，所以∠CBE＝∠BAC＝60°.因为BE＝2，BC＝4，由余弦定理得EC＝2.又BE2＝EC·ED，所以DE＝，所以CD＝EC－ED＝2－＝.3．如图，已知点C在圆O的直径AB的延长线上，CD是圆O的一条切线，D为切点，点D在AB上的射影是点E，CB＝3BE.求证：(1)DB是∠CDE的平分线；(2)AE＝2EB.证明 (1)连结AD，∵AB是圆O的直径，∴∠DAB＋∠DBA＝90°，3\n∵DE⊥AB，∴∠BDE＋∠DBA＝90°，∴∠DAB＝∠BDE，∵CD切圆O于点D，∴∠CDB＝∠DAB，∴∠BDE＝∠CDB，∴DB是∠CDE的平分线．(2)由(1)可得DB是∠CDE的平分线，∴＝＝3，即CD＝3DE.设BE＝m(m>0)，DE＝x(x>0)，则CB＝3m，CD＝3x，在Rt△CDE中，由勾股定理可得(3x)2＝x2＋(4m)2，则x＝m，由切割线定理得CD2＝CB·CA，(3m)2＝3m·CA，CA＝6m，AB＝3m，AE＝2m，则AE＝2EB.4．(2022·江苏海安中学质检)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，连结AD，与内切圆相交于另一点P，连结PC，PE，PF，已知PC⊥PF，求证：(1)＝；(2)PE∥BC.证明 (1)连结DE，则△BDF是等腰直角三角形，于是∠FPD＝∠FDB＝45°，故∠DPC＝45°.又∠PDC＝∠PFD，则△PFD∽△PDC，所以＝.①(2)由∠AFP＝∠ADF，∠AEP＝∠ADE，知△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.于是，＝＝＝.3\n故由①得＝，②由∠EPD＝∠EDC，结合②得，△EPD∽△EDC，从而△EPD也是等腰三角形．于是，∠PED＝∠EPD＝∠EDC，所以PE∥BC.3
