(二)立体几何1．(2022·苏州调研)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°.求证：(1)DE∥平面PBC；(2)AB⊥PE.证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.(2)连结PD，因为DE∥BC，又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB.又PA＝PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB，又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面PDE，所以AB⊥平面PDE.4\n因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝PC，求证：CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面PAC，因为CG⊂平面PAC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3.如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．4\n(1)求证：PA∥平面BEF；(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA.证明 (1)在△PAC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以PA∥EF.又PA⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以PA∥平面BEF.(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC，又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA.4．(2022·扬州调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．(1)证明：B1C1∥平面A1DE；(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.证明 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形B1BCC1是平行四边形，所以B1C1∥BC，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，故BC∥DE，所以B1C1∥DE，又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(2)在平面ABB1A1内，4\n过A作AF⊥A1D于点F，因为平面A1DE⊥平面A1ABB1，平面A1DE∩平面A1ABB1＝A1D，AF⊂平面A1ABB1，所以AF⊥平面A1DE，又DE⊂平面A1DE，所以AF⊥DE，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以A1A⊥DE，因为AF∩A1A＝A，AF⊂平面A1ABB1，A1A⊂平面A1ABB1，所以DE⊥平面A1ABB1，因为AB⊂平面A1ABB1，所以DE⊥AB.4
