(八)数列(B)1．(2022·江苏金陵中学期末)设数列{an}的前n项的和为Sn，且满足a1＝2，对∀n∈N*，都有an＋1＝(p－1)Sn＋2(其中常数p>1)，数列{bn}满足bn＝log2(a1a2…an)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)若p＝2，求b2018的值；(3)若∃k∈N*，使得p＝2，记cn＝，求数列{cn}的前2(k＋1)项的和．(1)证明 因为∀n∈N*，都有an＋1＝(p－1)Sn＋2，an＋2＝(p－1)Sn＋1＋2，所以两式相减得an＋2－an＋1＝(p－1)an＋1，即an＋2＝pan＋1，当n＝1时，a2＝(p－1)a1＋2＝pa1，所以an＋1＝pan(n∈N*)，又a1＝2，p>1，所以{an}是以2为首项，p为公比的等比数列．(2)解 由(1)得an＝2pn－1.bn＝log2(a1a2…an)＝log2＝所以b2018＝2.5\n(3)解 由(1)得an＝2pn－1.bn＝log2(a1a2…an)＝log2＝log2＝1＋.因为bn－＝，所以当1≤n≤k＋1时，cn＝－bn，当n≥k＋2时，cn＝bn－.因此数列{cn}的前2(k＋1)项的和T2k＋2＝－(b1＋b2＋…＋bk＋1)＋(bk＋2＋bk＋3＋…＋b2k＋2)＝－＋＝－＋＝.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，设bn＝an＋an＋1，cn＝an·an＋1(n∈N*)．(1)若数列{b2n－1}是公比为3的等比数列，求S2n；(2)若数列{bn}是公差为3的等差数列，求Sn；(3)是否存在这样的数列{an}，使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时成立，若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)b1＝a1＋a2＝1＋2＝3，S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝b1＋b3＋…＋b2n－1＝＝.(2)∵bn＋1－bn＝an＋2－an＝3，∴{a2k－1}，{a2k}均是公差为3的等差数列，a2k－1＝a1＋(k－1)·3＝3k－2，a2k＝a2＋(k－1)·3＝3k－1，当n＝2k(k∈N*)时，Sn＝S2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k)＝＋5\n＝3k2＝；当n＝2k－1(k∈N*)时，Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k2－3k＋1＝3×2－3·＋1＝.综上可知，Sn＝(3)∵{bn}成等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即2(a2＋a3)＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)，a2＋a3＝a1＋a4，①∵{cn}成等比数列，∴c＝c1c3.即(a2a3)2＝(a1a2)·(a3a4)，∵c2＝a2a3≠0，∴a2a3＝a1a4，②由①②及a1＝1，a2＝2，得a3＝1，a4＝2，设{bn}的公差为d，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝d，即an＋2－an＝d，即数列{an}的奇数项和偶数项都构成公差为d的等差数列，又d＝a3－a1＝a4－a2＝0，∴数列{an}＝1,2,1,2,1,2，…，即an＝此时cn＝2，{cn}是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{an}，an＝使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时成立．3．已知{an}，{bn}，{cn}都是各项不为零的数列，且满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝cnSn，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，{cn}是公差为d(d≠0)的等差数列．(1)若数列{an}是常数列，d＝2，c2＝3，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＝λn(λ是不为零的常数)，求证：数列{bn}是等差数列；(3)若a1＝c1＝d＝k(k为常数，k∈N*)，bn＝cn＋k(n≥2，n∈N*)，求证：对任意的n≥2，n∈N*，数列单调递减．(1)解 因为d＝2，c2＝3，所以cn＝2n－1.因为数列{an}是各项不为零的常数列，所以a1＝a2＝…＝an，Sn＝na1.则由cnSn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn及cn＝2n－1，得5\nn(2n－1)＝b1＋b2＋…＋bn，当n≥2时，(n－1)(2n－3)＝b1＋b2＋…＋bn－1，两式相减得bn＝4n－3，n≥2.当n＝1时，b1＝1也满足bn＝4n－3.故bn＝4n－3(n∈N*)．(2)证明 因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝cnSn，当n≥2时，cn－1Sn－1＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1，两式相减得cnSn－cn－1Sn－1＝anbn，即(Sn－1＋an)cn－Sn－1cn－1＝anbn，Sn－1(cn－cn－1)＋ancn＝anbn，所以Sn－1d＋λncn＝λnbn.又Sn－1＝(n－1)＝，所以d＋λncn＝λnbn，即d＋cn＝bn，(*)所以当n≥3时，d＋cn－1＝bn－1，两式相减得bn－bn－1＝d(n≥3)，所以数列{bn}从第二项起是公差为d的等差数列．又当n＝1时，由c1S1＝a1b1，得c1＝b1.当n＝2时，由(*)得b2＝d＋c2＝d＋(c1＋d)＝b1＋d，得b2－b1＝d.故数列{bn}是公差为d的等差数列．(3)证明 由(2)得当n≥2时，Sn－1(cn－cn－1)＋ancn＝anbn，即Sn－1d＝an(bn－cn)．因为bn＝cn＋k，所以bn＝cn＋kd，即bn－cn＝kd，5\n所以Sn－1d＝an·kd，即Sn－1＝kan，所以Sn＝Sn－1＋an＝(k＋1)an.当n≥3时，Sn－1＝(k＋1)an－1，两式相减得an＝(k＋1)an－(k＋1)an－1，即an＝an－1，故从第二项起数列{an}是等比数列，所以当n≥2时，an＝a2n－2，bn＝cn＋k＝cn＋kd＝c1＋(n－1)k＋k2＝k＋(n－1)k＋k2＝k(n＋k)，另外由已知条件得(a1＋a2)c2＝a1b1＋a2b2.又c2＝2k，b1＝k，b2＝k(2＋k)，所以a2＝1，因而an＝n－2，n≥2.令dn＝(n≥2)，则＝＝.因为(n＋k＋1)k－(n＋k)(k＋1)＝－n<0，所以<1，又因为dn>0，所以dn＋1<dn，所以对任意的n≥2，n∈N*，数列单调递减．5
