(一)三角函数与解三角形1．(2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．解 (1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝.(2)因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝.又因为β为锐角，所以cosβ＝.因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，所以2α－β＝.3\n2．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋sin·sin，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求sin2x0的值．解 (1)易得f(x)＝sin2x＋sin2x＋(sin2x－cos2x)＝＋sin2x－＝sin2x－cos2x＋＝2sin＋，所以f(x)的最小正周期为π，值域为.(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，得sin＝－<0，又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，所以－≤2x0－<0，故cos＝，此时sin2x0＝sin＝sincos＋cossin＝－×＋×＝.3．(2022·江苏省泰州中学月考)已知f(x)＝sin－cosx.(1)求f(x)在上的最小值；(2)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，b＝5，cosA＝，且f(B)＝1，求a的长．解 (1)f(x)＝－cosx＝sinx＋cosx＝sin.3\n∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴当x＝π时，f(x)min＝－.(2)∵当x＋＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)有最大值1，又f(B)＝1，B是三角形的内角，∴B＝，∵cosA＝，A是三角形的内角，∴sinA＝.由＝，得a＝8.4．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin－cosC＝.(1)求角C的大小；(2)若c＝2，求当△ABC的周长最大时三角形的面积．解 (1)sin－cosC＝sinC＋cosC－cosC＝sinC－cosC＝sin，所以sin＝，因为C∈(0，π)，所以C－∈，所以C－＝，即C＝.(2)因为C＝，c＝2，由余弦定理得，(2)2＝a2＋b2－2abcosC，即12＝(a＋b)2－3ab，因为ab≤2，所以(a＋b)2≤48,0<a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时，△ABC的周长取得最大值，此时三角形的面积为absinC＝×2×2×sin＝3.3
