(七)数列(A)1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝4，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知cn＝2n＋3(n∈N*)，记dn＝cn＋logCan(C>0且C≠1)，是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由；(3)若对于数列{bn}及任意的正整数n，均有b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1＝n－成立，求证：数列{bn}是等差数列．(1)解 a1＝4－a1，所以a1＝2，由Sn＋an＝4，得当n≥2时，Sn－1＋an－1＝4，两式相减，得2an＝an－1，所以＝，数列{an}是以2为首项，为公比的等比数列，所以an＝22－n(n∈N*)．(2)解 由于数列{dn}是常数列，dn＝cn＋logCan＝2n＋3＋(2－n)logC2＝2n＋3＋2logC2－nlogC2＝(2－logC2)n＋3＋2logC2为常数，则2－logC2＝0，由C>0且C≠1，解得C＝，此时dn＝7.4\n(3)证明 b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1＝n－，①当n＝1时，b1a1＝－＝－1，其中a1＝2，所以b1＝－.当n≥2时，b1an－1＋b2an－2＋b3an－3＋…＋bn－1a1＝n－1－，②②式两边同时乘以，得b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＝n－，③由①－③，得bna1＝，所以bn＝－－(n∈N*，n≥2)，且bn＋1－bn＝－，又b1＝－＝－－，所以数列{bn}是以－为首项，－为公差的等差数列．2．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1＝an－，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．(1)求证：数列{3nan}是等差数列；(2)求Sn；(3)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．(1)证明 因为an＋1＝an－，所以3n＋1an＋1－3nan＝－2.又因为a1＝，所以31·a1＝1，所以{3nan}是首项为1，公差为－2的等差数列．(2)解 由(1)知3nan＝1＋(n－1)·(－2)＝3－2n，所以an＝(3－2n)n，4\n所以Sn＝1·1＋(－1)·2＋(－3)·3＋…＋(3－2n)·n，所以Sn＝1·2＋(－1)·3＋…＋(5－2n)·n＋(3－2n)·n＋1，两式相减，得Sn＝－2－(3－2n)·n＋1＝－2＋(2n－3)·n＋1＝2n·n＋1，所以Sn＝.(3)解 假设存在正整数p，q，r(p<q<r)，使Sp，Sq，Sr成等差数列，则2Sq＝Sp＋Sr，即＝＋.当n≥2时，an＝(3－2n)n<0，所以数列{Sn}单调递减．又p<q，所以p≤q－1且q至少为2，所以≥，－＝.①当q≥3时，≥≥，又>0，所以＋>，等式不成立．②当q＝2时，p＝1，所以＝＋，所以＝，所以r＝3({Sn}单调递减，解唯一确定)．综上可知，存在正整数p＝1，q＝2，r＝3，使得Sp，Sq，Sr成等差数列．3．设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．(1)若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{bn}是否为“和等比数列”，并给出证明；(2)若数列{cn}是首项为c1，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，试探究d与c1之间的等量关系．4\n解 (1)数列{bn}为“和等比数列”，证明如下：因为数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，因此bn＝2n－1.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以＝4，因此数列{bn}为“和等比数列”．(2)设数列{cn}的前n项和为Rn，且＝k(k≠0)．因为数列{cn}是等差数列，所以Rn＝nc1＋d，R2n＝2nc1＋d，所以＝＝k对于n∈N*都成立，化简，得(k－4)dn＋(k－2)(2c1－d)＝0，则因为d≠0，所以k＝4，d＝2c1，因此d与c1之间的等量关系为d＝2c1.4
