专题8.3直线、平面平行的判定及其性质一、填空题1.下列命题中,错误的是_______.A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.如果平面α不垂直平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.若直线l不平行平面α,则在平面α内不存在与l平行的直线2.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是_______.【解析】对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,在空间中,以上三个命题都是假命题.3.已知直线a,b异面,给出以下命题:①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;②一定存在平行于a的平面α使b∥α;③一定存在平行于a的平面α使b⊂α;④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点.则其中正确的是_______.4.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列三个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;6\n②若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;③若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是_______.【解析】①正确;②中三条直线也可能相交于一点,故错误;③正确,所以正确的命题有2个.5.(2022·襄阳模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是_______.A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行【解析】选D 如图所示,连接AC,C1D,BD,则MN∥BD,而C1C⊥BD,故C1C⊥MN,故A、C正确,D错误,又因为AC⊥BD,所以MN⊥AC,B正确.6.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,正确的命题是_______.①|BM|是定值;②点M在圆上运动;③一定存在某个位置,使DE⊥A1C;④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.6\n7.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.【答案】6【解析】过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共有6条.8.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1cm,过AC作平行于体对角线BD1的截面,则截面面积为________cm2.【答案】【解析】如图所示,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,∴E为DD1的中点,∴S△ACE=××=(cm2).9.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下列三个条件:①α∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号).【答案】①③【解析】①α∥γ,α∩β=a,β∩γ=b⇒a∥b(面面平行的性质).②如图所示,在正方体中,α∩β=a,b⊂γ,a∥γ,b∥β,而a,b异面,故②错.③b∥β,b⊂γ,β∩γ=a⇒a∥b(线面平行的性质).10.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是________.6\n【答案】(8,10)二、解答题11.如图,ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.证明:(1)连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,6\n12.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2.(1)求证:AB1∥平面BC1D;(2)设BC=3,求四棱锥BDAA1C1的体积.解:(1)证明:连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD,如图所示.∵四边形BCC1B1是平行四边形,∴点O为B1C的中点.∵D为AC的中点,∴OD为△AB1C的中位线,∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,∴AB1∥平面BC1D.6\n(2)∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,∴平面ABC⊥平面AA1C1C.∵平面ABC∩平面AA1C1C=AC,6