专题8.3直线、平面平行的判定及其性质【考纲解读】内容要求备注A A BB C C 点、线、面之间的位置关系 直线与平面平行的判定及性质 √ √ 1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．【直击考点】题组一常识题1．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线有________条．【解析】由线面平行的性质即得．1条2．如图所示，在正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则直线AB与平面PNM的位置关系是________．【解析】在正方体中，AB是正方体的体对角线，M，N，P分别为其所在棱的中点，取MN的中点F，连接PF，则易知PF∥AB，故由线面平行的判定定理可知直线AB与平面PNM平行．3．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1DC1的位置关系是________．10\n【解析】易证A1C1，A1D都与平面AB1C平行，且A1D∩A1C1＝A1，所以平面AB1C∥平面A1DC1.题组二 常错题4．设m，l表示直线，α表示平面，若m⊂α，则l∥α是l∥m的______________条件．5．下列条件中能判断两个平面平行的是________(填序号)．①一个平面内的一条直线平行于另一个平面；②一个平面内的两条直线平行于另一个平面；③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面．【解析】由平面与平面平行的判断定理可知，一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．故只有条件④符合．6．已知α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“若α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，那么可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．【解析】①中，a∥γ，a⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质定理)．③中，b∥β，b⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质定理)．题组三 常考题7．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F.过点E，F的平面α与此长方体的面ABCD相交于HG，则EF与HG的位置关系为________．【解析】易知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，又平面α∩平面A1B1C1D1＝EF，平面α∩平面ABCD＝HG，所以根据面面平行的性质定理有EF∥HG.8．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，则DE与平面AA1C1C的位置关系为________．10\n 9．在如图所示的正方体中，平面BEG与平面ACH的位置关系为________．【解析】因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.【知识清单】考点1直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质判定性质10\n定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b考点2平面与平面平行的判定与性质面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α考点3线面、面面平行的综合应用1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：aα，bα，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；aα⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，aα⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.【考点深度剖析】10\n近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系．【重点难点突破】考点1直线与平面平行的判定与性质【1-1】【2022年盐城模拟】若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是_________．A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行【答案】Ｂ【解析】A中，m，n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m，n也可能异面．【1-2】在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________．【答案】平面ABC、平面ABD【1-3】如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC10\n的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M在线段HF上【思想方法】判断或证明线面平行的常用方法： 利用线面平行的定义，一般用反证法； 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；) 利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【温馨提醒】证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行．应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．考点2平面与平面平行的判定与性质【2-1】设是空间两条直线，，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是_______．A．当时，“”是“∥”成立的充要条件 B．当时，“”是“”的充分不必要条件 C．当时，“”是“”的必要不充分条件 D．当时，“”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】在选项C中，当∥时，直线的位置关系可能平行，可能异面.若∥，则∥或者10\n，∴∥是∥的既不充分也不必要条件，故选C.【2-2】下列命题中正确的个数是_______．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．【答案】2【2-3】在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱DD1，CD，AD的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.【证明】如图，连接D1C，AD1，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.【思想方法】证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；10\n③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．【温馨提醒】证明面面平行的常用方法：(1)面面平行的判定定理，(2)两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，(3)两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面平行．考点3线面、面面平行的综合应用【3-1】设表示直线表示不同的平面，则下列命题中正确的是_______．A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．若且，则【答案】D【3-2】如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．【答案】①②④【解析】易知①②正确，AC1与底面ABCD所成角的正切值是，故③错；由异面直线的判定可知④是正确的．【3-3】已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A.C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8则BD的长为________．【答案】或24.10\n【思想方法】解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【温馨提醒解决本类问题时，需要熟练掌握线面平行的判定及性质，面面平行的判定及性质，以及它们之间的相互转化．10\n解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【易错试题常警惕】1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．解题中注意符号语言的规范应用．10
