专题6.2等差数列及其求和一、填空题1．(2022·黄冈质检)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝_______【解析】由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．(2022·东北三校联考)已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝_______【解析】设等差数列{bn}的公差为d，则d＝b3－b2＝－14，因为an＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，又a1＝3，则a8＝－109.3．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n项和为Sn，则S17为_______【解析】由a3＋a5＋a11＋a17＝4，得2(a4＋a14)＝4，即a4＋a14＝2，则a1＋a17＝2，故S17＝＝17.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为_______【解析】∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.5．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为_______6．设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是_______【解析】设数列{an}的公差为d，依题意得2＝＋，因为a1＝1，所以2＝＋，化简可得d＝2a1＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋×2＝n2，所以＝＝2＝2＝2≤121.即的最大值为121.-3-\n7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差d是________．【解析】由－＝1得－＝a1＋d－＝＝1，所以d＝2.8．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13等于________．【解析】因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.9．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于________．10．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．【解析】由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得即解得－1<d<－.二、解答题11．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵bn＝，且an＝，∴bn＋1＝＝＝，∴bn＋1－bn＝－＝2.又∵b1＝＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝.∴数列{an}的通项公式为an＝.-3-\n12．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．-3-
