专题4.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用【基础巩固】一、填空题1．(2022·全国Ⅱ卷改编)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【答案】x＝＋(k∈Z)2．(2022·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．【答案】2，【解析】由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝.3．(2022·苏北四市调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是________．【答案】4【解析】设函数的周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.4．(2022·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ7\n<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________.【答案】【解析】将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝sin的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin＝0，＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，又0<φ<π，则φ＝.5．(2022·南京调研)如图，它是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．【答案】6．(2022·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为________℃.【答案】20.5【解析】因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝f(x)＝23＋5cos，所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos＝23－5×＝20.5.7\n7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________．【答案】f(x)＝sin8．函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是________．【答案】5【解析】函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点．二、解答题9．已知函数f(x)＝sinωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f的值；(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．7\n10．(2022·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以k＝0，所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，则f＝sin＝sin＝.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，7\n所以g(x)＝f＝sin＝sin.当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．【能力提升】11．(2022·南京模拟)设函数f(x)＝sin，给出下列结论：①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数；④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象．其中正确的是________(填序号)．【答案】③12．(2022·泰州一模)已知函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪【解析】当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－7\nω，由题意知ω≤－，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.13．(2022·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.【答案】14．(2022·扬州中学质检)如图，函数y＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y轴交于点(0，)，最小正周期是π.(1)求ω，φ的值；(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．解 (1)将点(0，)代入y＝2cos(ωx＋φ)，7\n得cosφ＝，∵0≤φ≤，∴φ＝.∵最小正周期T＝π，且ω>0，∴ω＝＝2.(2)由(1)知y＝2cos.∵A，Q(x0，y0)是PA中点，y0＝，∴P.7
