课时规范练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用一、基础巩固组1.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动π10个单位长度,所得图象的函数解析式是( )A.y=sin2x-π10B.y=sin12x-π20C.y=sin2x-π5D.y=sin12x-π102.已知函数f(x)=cosωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )A.关于点π3,0对称B.关于直线x=π4对称C.关于点π4,0对称D.关于直线x=π3对称3.若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是( )A.π4B.3π8C.π8D.5π84.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.105.(2022天津,理7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π246.若函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为π6,则φ=( )A.π6B.π4C.π3D.5π127.6\n已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则y=fx+π6取得最小值时x的集合为( )A.xx=kπ-π6,k∈ZB.xx=kπ-π3,k∈ZC.xx=2kπ-π6,k∈ZD.xx=2kπ-π3,k∈Z〚导学号21500720〛8.函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到. 9.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ= . 10.已知函数f(x)=3cos2x-π3-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.〚导学号21500721〛二、综合提升组11.若关于x的方程2sin2x+π6=m在0,π2上有两个不等实根,则m的取值范围是( )A.(1,3)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,3]12.(2022山东烟台二模,理12)已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点2π3,0对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为 . 13.已知函数y=3sin12x-π4.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的.6\n三、创新应用组14.(2022全国Ⅰ,理9)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin2x+2π3,则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2〚导学号21500722〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=Asin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.课时规范练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用6\n1.B 由题意,y=sinx的图象进行伸缩变换后得到y=sin12x的图象,再进行平移后所得图象的函数为y=sin12x-π10=sin12x-π20.故选B.2.D 由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+π3=kπ(k∈Z),解得x=kπ2-π6(k∈Z),当k=1时,x=π3,故选D.3.C 函数f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+π4的图象向左平移φ个单位长度,所得函数y=2sin2x+2φ+π4的图象关于y轴对称,则有2φ+π4=kπ+π2,k∈Z.解得φ=12kπ+π8,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为π8.故选C.4.C 因为sinπ6x+φ∈[-1,1],所以函数y=3sinπ6x+φ+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A 由题意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥14·2πω,所以23≤ω<1.所以排除C,D.当ω=23时,f5π8=2sin5π8×23+φ=2sin5π12+φ=2,所以sin5π12+φ=1.所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=π12.故选A.6.C 由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为T2-φ.故T2-φ=π6,即φ=π3.7.B 根据所给图象,周期T=4×7π12-π3=π,故π=2πω,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图象经过7π12,0,代入有2×7π12+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<π2,得φ=-π6,故fx+π6=sin2x+π6,当2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)时,y=fx+π6取得最小值.8.2π3 因为y=sinx+3cosx=2sinx+π3,y=sinx-3cosx=2sinx-π3=2sinx-2π3+π3,所以函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移2π3个单位长度得到.9.π3 函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=π2,则x=π4.x=π8关于x=π4对称的直线为x=3π8,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=3π8的点平移到x=17π24,则φ=17π24-3π8=π3.10.(1)解f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3.所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.6\n(2)证明因为-π4≤x≤π4,所以-π6≤2x+π3≤5π6.所以sin2x+π3≥sin-π6=-12.所以当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.11.C 方程2sin2x+π6=m可化为sin2x+π6=m2,当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,画出函数y=f(x)=sin2x+π6在x∈0,π2上的图象如图所示.由题意,得12≤m2<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12.π12 ∵函数的图象关于点2π3,0对称,∴2×2π3+φ=kπ+π2,k∈Z,解得φ=kπ-5π6,k∈Z,∴f(x)=cos2x+kπ-5π6,k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos2x-2m+kπ-5π6(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-5π6=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=(k-k1)π2-5π12.∵m>0,∴m的最小正值为π12,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解(1)列表:xπ23π25π27π29π212x-π40π2π32π2π3sin12x-π4030-30描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移π4个单位长度,得到y=sinx-π4的图象,再把y=sinx-π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x-π4的图象,最后将y=sin12x-π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x的图象,再把y=sin12x图象上所有的点向右平移π2个单位长度,得到y=sin12x-π2=sinx2-π46\n的图象,最后将y=sinx2-π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图象.14.D 曲线C1的方程可化为y=cosx=sinx+π2,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得曲线y=sin2x+π2=sin2x+π4,为得到曲线C2:y=sin2x+π3,需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.15.解(1)由图象,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=12(50-30)=10,b=12(50+30)=40,T=2πω=2×(14-8)=12,所以ω=π6,所以y=10sinπ6x+φ+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=π6.所以所求解析式为y=10sinπ6x+π6+40,x∈[8,14].6
