专题4.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移_____个单位【解析】由y＝sin＝sin得，只需将y＝sin4x的图象向右平移个单位即可2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则φ＝3．(2022·湖北八校联考)把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y＝sin(x∈R)．4．(2022·长沙四校联考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则函数f(x)的单调递增区间为【解析】将y＝sinx的图象向右平移个单位长度得到的函数为y＝sin，将函数y＝sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，则函数变为y＝sin＝f(x)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．【答案】【解析】根据所给图象，周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象经过点，所以有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，所以f(x)＝sin4\n，则f＝sin2x＋，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．6．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.【答案】【解析】观察图象可知，A＝1，T＝2＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．将代入上式得sin＝0，即－＋φ＝kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin.函数图象的对称轴为x＝＝.又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，即x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝.8．(2022·山东师大附中模拟)设P为函数f(x)＝sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)＝cosx4\n的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________．【答案】【解析】由题意知两个函数的周期都为T＝＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x)的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设P(x0,1)，则Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝＝.9．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.【答案】10．已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.【答案】【解析】依题意，x＝＝时，y有最小值，即sin＝－1，则ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．所以ω＝8k＋(k∈Z)．因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.二、解答题11.函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；4\n(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．12．(2022·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P在时刻t(单位：分钟)距离地面的高度y(单位：米)满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y关于t的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米？解：(1)由题设可知A＝50，b＝60，又T＝＝3，所以ω＝，从而y＝50sin＋60.由题设知t＝0时y＝10，将t＝0，y＝10代入y＝50sin＋60，得sinφ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－，因此y＝60－50cost(t≥0)．(2)要使点P距离地面的高度超过85米，则有y＝60－50cost>85，即cost<－，解得<t<，即1<t<2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.4
